微分積分例

4 y'' = y

$4 y'' = y$ ,

y = e^{r x}

$y = e^{r x}$

ステップ 1

y'

$y'$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺を微分します。

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{r x})

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{r x})$

ステップ 1.2

x

$x$ に関する

y

$y$ の微分係数は

y'

$y'$ です。

y'

$y'$

ステップ 1.3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ および

g (x) = r x

$g (x) = r x$ のとき、

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、

u

$u$ を

r x

$r x$ とします。

\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x]

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x]$

ステップ 1.3.1.2

a

$a$ =

e

$e$ のとき、

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は

a^{u} ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

e^{u} \frac{d}{d x} [r x]

$e^{u} \frac{d}{d x} [r x]$

ステップ 1.3.1.3

u

$u$ のすべての発生を

r x

$r x$ で置き換えます。

e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]

$e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]$

e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]

$e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]$

ステップ 1.3.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

r

$r$ は

x

$x$ に対して定数なので、

x

$x$ に対する

r x

$r x$ の微分係数は

r \frac{d}{d x} [x]

$r \frac{d}{d x} [x]$ です。

e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x])

$e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.2.2

n = 1

$n = 1$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

e^{r x} (r \cdot 1)

$e^{r x} (r \cdot 1)$

ステップ 1.3.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.3.1

r

$r$ に

1

$1$ をかけます。

e^{r x} r

$e^{r x} r$

ステップ 1.3.2.3.2

e^{r x} r

$e^{r x} r$ の因数を並べ替えます。

r e^{r x}

$r e^{r x}$

r e^{r x}

$r e^{r x}$

r e^{r x}

$r e^{r x}$

r e^{r x}

$r e^{r x}$

ステップ 1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

y' = r e^{r x}

$y' = r e^{r x}$

y' = r e^{r x}

$y' = r e^{r x}$

ステップ 2

y''

$y''$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分係数を設定します。

y'' = \frac{d}{d x} [r e^{r x}]

$y'' = \frac{d}{d x} [r e^{r x}]$

ステップ 2.2

r

$r$ は

x

$x$ に対して定数なので、

x

$x$ に対する

r e^{r x}

$r e^{r x}$ の微分係数は

r \frac{d}{d x} [e^{r x}]

$r \frac{d}{d x} [e^{r x}]$ です。

y'' = r \frac{d}{d x} [e^{r x}]

$y'' = r \frac{d}{d x} [e^{r x}]$

ステップ 2.3

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ および

g (x) = r x

$g (x) = r x$ のとき、

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、

u

$u$ を

r x

$r x$ とします。

y'' = r (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x])

$y'' = r (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x])$

ステップ 2.3.2

a

$a$ =

e

$e$ のとき、

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は

a^{u} ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

y'' = r (e^{u} \frac{d}{d x} [r x])

$y'' = r (e^{u} \frac{d}{d x} [r x])$

ステップ 2.3.3

u

$u$ のすべての発生を

r x

$r x$ で置き換えます。

y'' = r (e^{r x} \frac{d}{d x} [r x])

$y'' = r (e^{r x} \frac{d}{d x} [r x])$

y'' = r (e^{r x} \frac{d}{d x} [r x])

$y'' = r (e^{r x} \frac{d}{d x} [r x])$

ステップ 2.4

r

$r$ は

x

$x$ に対して定数なので、

x

$x$ に対する

r x

$r x$ の微分係数は

r \frac{d}{d x} [x]

$r \frac{d}{d x} [x]$ です。

y'' = r (e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x]))

$y'' = r (e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.5

r

$r$ を

1

$1$ 乗します。

y'' = r^{1} r (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))

$y'' = r^{1} r (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.6

r

$r$ を

1

$1$ 乗します。

y'' = r^{1} r^{1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))

$y'' = r^{1} r^{1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.7

べき乗則

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

y'' = r^{1 + 1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))

$y'' = r^{1 + 1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.8

1

$1$ と

1

$1$ をたし算します。

y'' = r^{2} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))

$y'' = r^{2} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.9

n = 1

$n = 1$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

y'' = r^{2} (e^{r x} \cdot 1)

$y'' = r^{2} (e^{r x} \cdot 1)$

ステップ 2.10

e^{r x}

$e^{r x}$ に

1

$1$ をかけます。

y'' = r^{2} e^{r x}

$y'' = r^{2} e^{r x}$

y'' = r^{2} e^{r x}

$y'' = r^{2} e^{r x}$

ステップ 3

与えられた微分方程式に代入します。

4 (r^{2} e^{r x}) = y

$4 (r^{2} e^{r x}) = y$

ステップ 4

y

$y$ を

e^{r x}

$e^{r x}$ に代入します。

4 (r^{2} y) = y

$4 (r^{2} y) = y$

ステップ 5

r

$r$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

4 r^{2} y = y

$4 r^{2} y = y$ の各項を

4 y

$4 y$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

4 r^{2} y = y

$4 r^{2} y = y$ の各項を

4 y

$4 y$ で割ります。

\frac{4 r^{2} y}{4 y} = \frac{y}{4 y}

$\frac{4 r^{2} y}{4 y} = \frac{y}{4 y}$

ステップ 5.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

4

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 r^{2} y}{4 y} = \frac{y}{4 y}$

ステップ 5.1.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{r^{2} y}{y} = \frac{y}{4 y}$

ステップ 5.1.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{r^{2} y}{y} = \frac{y}{4 y}$

ステップ 5.1.2.2.2

$r^{2}$ を

$1$ で割ります。

$r^{2} = \frac{y}{4 y}$

ステップ 5.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1.1

共通因数を約分します。

$r^{2} = \frac{y}{4 y}$

ステップ 5.1.3.1.2

式を書き換えます。

$r^{2} = \frac{1}{4}$

ステップ 5.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$r = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

ステップ 5.3

$\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$\sqrt{\frac{1}{4}}$ を

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$r = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

ステップ 5.3.2

$1$ のいずれの根は

$1$ です。

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

ステップ 5.3.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$4$ を

$2^{2}$ に書き換えます。

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 5.3.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$r = \pm \frac{1}{2}$

ステップ 5.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

まず、

$\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$r = \frac{1}{2}$

ステップ 5.4.2

次に、

$\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$r = - \frac{1}{2}$

ステップ 5.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$r = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

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