微分積分例

y' = 3 x^{2}

$y' = 3 x^{2}$ ,

y = x^{3} - 4 + c

$y = x^{3} - 4 + c$ ,

y (0) = 5

$y (0) = 5$

ステップ 1

与えられた解が微分方程式を満たすことを検算します。

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ステップ 1.1

y'

$y'$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

方程式の両辺を微分します。

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3} - 4 + c)

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3} - 4 + c)$

ステップ 1.1.2

x

$x$ に関する

y

$y$ の微分係数は

y'

$y'$ です。

y'

$y'$

ステップ 1.1.3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 1.1.3.1

総和則では、

x^{3} - 4 + c

$x^{3} - 4 + c$ の

x

$x$ に関する積分は

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$ です。

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$

ステップ 1.1.3.2

n = 3

$n = 3$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$

ステップ 1.1.3.3

- 4

$- 4$ は

x

$x$ について定数なので、

x

$x$ について

- 4

$- 4$ の微分係数は

0

$0$ です。

3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [c]

$3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [c]$

ステップ 1.1.3.4

c

$c$ は

x

$x$ について定数なので、

x

$x$ について

c

$c$ の微分係数は

0

$0$ です。

3 x^{2} + 0 + 0

$3 x^{2} + 0 + 0$

ステップ 1.1.3.5

項をまとめます。

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ステップ 1.1.3.5.1

3 x^{2}

$3 x^{2}$ と

0

$0$ をたし算します。

3 x^{2} + 0

$3 x^{2} + 0$

ステップ 1.1.3.5.2

3 x^{2}

$3 x^{2}$ と

0

$0$ をたし算します。

3 x^{2}

$3 x^{2}$

3 x^{2}

$3 x^{2}$

3 x^{2}

$3 x^{2}$

ステップ 1.1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

y' = 3 x^{2}

$y' = 3 x^{2}$

y' = 3 x^{2}

$y' = 3 x^{2}$

ステップ 1.2

与えられた微分方程式に代入します。

3 x^{2} = 3 x^{2}

$3 x^{2} = 3 x^{2}$

ステップ 1.3

与えられた解は与えられた微分方程式を満たします。

y = x^{3} - 4 + c

$y = x^{3} - 4 + c$ は

y' = 3 x^{2}

$y' = 3 x^{2}$ の解です

y = x^{3} - 4 + c

$y = x^{3} - 4 + c$ は

y' = 3 x^{2}

$y' = 3 x^{2}$ の解です

ステップ 2

初期条件に代入します。

5 = 0^{3} - 4 + c

$5 = 0^{3} - 4 + c$

ステップ 3

c

$c$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を

0^{3} - 4 + c = 5

$0^{3} - 4 + c = 5$ として書き換えます。

0^{3} - 4 + c = 5

$0^{3} - 4 + c = 5$

ステップ 3.2

0^{3} - 4 + c

$0^{3} - 4 + c$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1

0

$0$ を正数乗し、

0

$0$ を得ます。

0 - 4 + c = 5

$0 - 4 + c = 5$

ステップ 3.2.2

0

$0$ から

4

$4$ を引きます。

- 4 + c = 5

$- 4 + c = 5$

- 4 + c = 5

$- 4 + c = 5$

ステップ 3.3

c

$c$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.1

方程式の両辺に

4

$4$ を足します。

c = 5 + 4

$c = 5 + 4$

ステップ 3.3.2

5

$5$ と

4

$4$ をたし算します。

c = 9

$c = 9$

c = 9

$c = 9$

c = 9

$c = 9$

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微分積分 例

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