微分積分例

$y' = 2 x y$ , $y = c e^{x^{2}}$ , $y (0) = 1$

ステップ 1

与えられた解が微分方程式を満たすことを検算します。

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ステップ 1.1

$y'$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{x^{2}})$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 1.1.3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$c$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $c e^{x^{2}}$ の微分係数は $c \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ です。

$c \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

ステップ 1.1.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.1.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$c (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$c (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$c e^{x^{2}} (2 x)$

ステップ 1.1.3.4

簡約します。

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ステップ 1.1.3.4.1

$c e^{x^{2}} (2 x)$ の因数を並べ替えます。

$2 e^{x^{2}} c x$

ステップ 1.1.3.4.2

$2 e^{x^{2}} c x$ の因数を並べ替えます。

$2 c x e^{x^{2}}$

ステップ 1.1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 2 c x e^{x^{2}}$

ステップ 1.2

与えられた微分方程式に代入します。

$2 c x e^{x^{2}} = 2 x (c e^{x^{2}})$

ステップ 1.3

$2 c x e^{x^{2}} = 2 x (c e^{x^{2}})$ の因数を並べ替えます。

$2 c x e^{x^{2}} = 2 x c e^{x^{2}}$

ステップ 1.4

与えられた解は与えられた微分方程式を満たします。

$y = c e^{x^{2}}$ は $y' = 2 x y$ の解です

ステップ 2

初期条件に代入します。

$1 = c e^{0^{2}}$

ステップ 3

$c$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $c e^{0^{2}} = 1$ として書き換えます。

$c e^{0^{2}} = 1$

ステップ 3.2

$c e^{0^{2}} = 1$ の各項を $e^{0^{2}}$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.1

$c e^{0^{2}} = 1$ の各項を $e^{0^{2}}$ で割ります。

$\frac{c e^{0^{2}}}{e^{0^{2}}} = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$e^{0^{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{c e^{0^{2}}}{e^{0^{2}}} = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

ステップ 3.2.2.1.2

$c$ を $1$ で割ります。

$c = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

分母を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$c = \frac{1}{e^{0}}$

ステップ 3.2.3.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$c = \frac{1}{1}$

ステップ 3.2.3.2

$1$ を $1$ で割ります。

$c = 1$

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