微分積分例

y' = 2 y

$y' = 2 y$ ,

y = c e^{2 x}

$y = c e^{2 x}$ ,

y (0) = 3

$y (0) = 3$

ステップ 1

与えられた解が微分方程式を満たすことを検算します。

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ステップ 1.1

y'

$y'$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

方程式の両辺を微分します。

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{2 x})

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{2 x})$

ステップ 1.1.2

x

$x$ に関する

y

$y$ の微分係数は

y'

$y'$ です。

y'

$y'$

ステップ 1.1.3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 1.1.3.1

c

$c$ は

x

$x$ に対して定数なので、

x

$x$ に対する

c e^{2 x}

$c e^{2 x}$ の微分係数は

c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]

$c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ です。

c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]

$c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 1.1.3.2

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ および

g (x) = 2 x

$g (x) = 2 x$ のとき、

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、

u

$u$ を

2 x

$2 x$ とします。

c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])

$c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.1.3.2.2

a

$a$ =

e

$e$ のとき、

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は

a^{u} \ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

c (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])

$c (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.1.3.2.3

u

$u$ のすべての発生を

2 x

$2 x$ で置き換えます。

c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])

$c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])

$c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.1.3.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.3.1

2

$2$ は

x

$x$ に対して定数なので、

x

$x$ に対する

2 x

$2 x$ の微分係数は

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

c e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])

$c e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.3.3.2

n = 1

$n = 1$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

c e^{2 x} (2 \cdot 1)

$c e^{2 x} (2 \cdot 1)$

ステップ 1.1.3.3.3

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.3.1

2

$2$ に

1

$1$ をかけます。

c e^{2 x} \cdot 2

$c e^{2 x} \cdot 2$

ステップ 1.1.3.3.3.2

2

$2$ を

c e^{2 x}

$c e^{2 x}$ の左に移動させます。

2 \cdot (c e^{2 x})

$2 \cdot (c e^{2 x})$

2 \cdot (c e^{2 x})

$2 \cdot (c e^{2 x})$

2 \cdot (c e^{2 x})

$2 \cdot (c e^{2 x})$

ステップ 1.1.3.4

簡約します。

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ステップ 1.1.3.4.1

2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x}$ の因数を並べ替えます。

2 e^{2 x} c

$2 e^{2 x} c$

ステップ 1.1.3.4.2

2 e^{2 x} c

$2 e^{2 x} c$ の因数を並べ替えます。

2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x}$

2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x}$

2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x}$

ステップ 1.1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

y' = 2 c e^{2 x}

$y' = 2 c e^{2 x}$

y' = 2 c e^{2 x}

$y' = 2 c e^{2 x}$

ステップ 1.2

与えられた微分方程式に代入します。

2 c e^{2 x} = 2 (c e^{2 x})

$2 c e^{2 x} = 2 (c e^{2 x})$

ステップ 1.3

括弧を削除します。

2 c e^{2 x} = 2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x} = 2 c e^{2 x}$

ステップ 1.4

与えられた解は与えられた微分方程式を満たします。

y = c e^{2 x}

$y = c e^{2 x}$ は

y' = 2 y

$y' = 2 y$ の解です

y = c e^{2 x}

$y = c e^{2 x}$ は

y' = 2 y

$y' = 2 y$ の解です

ステップ 2

初期条件に代入します。

3 = c e^{2 \cdot 0}

$3 = c e^{2 \cdot 0}$

ステップ 3

c

$c$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を

c e^{2 \cdot 0} = 3

$c e^{2 \cdot 0} = 3$ として書き換えます。

c e^{2 \cdot 0} = 3

$c e^{2 \cdot 0} = 3$

ステップ 3.2

c e^{2 \cdot 0}

$c e^{2 \cdot 0}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1

2

$2$ に

0

$0$ をかけます。

c e^{0} = 3

$c e^{0} = 3$

ステップ 3.2.2

0

$0$ にべき乗するものは

1

$1$ となります。

c \cdot 1 = 3

$c \cdot 1 = 3$

ステップ 3.2.3

c

$c$ に

1

$1$ をかけます。

c = 3

$c = 3$

c = 3

$c = 3$

c = 3

$c = 3$

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微分積分 例

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