微分積分例

x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3

$x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3$ ,

y (1) = 1

$y (1) = 1$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3

$x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3$ の各項を

x

$x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3

$x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3$ の各項を

x

$x$ で割ります。

\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

x

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

ステップ 1.1.2.1.2

\frac{d y}{d x}

$\frac{d y}{d x}$ を

1

$1$ で割ります。

\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

ステップ 1.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

分数の前に負数を移動させます。

\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x} - \frac{3}{x}

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x} - \frac{3}{x}$

\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x} - \frac{3}{x}

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x} - \frac{3}{x}$

\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x} - \frac{3}{x}

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x} - \frac{3}{x}$

ステップ 1.2

公分母の分子をまとめます。

\frac{d y}{d x} = \frac{4 y - 3}{x}

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y - 3}{x}$

ステップ 1.3

両辺に

\frac{1}{4 y - 3}

$\frac{1}{4 y - 3}$ を掛けます。

\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y - 3} \cdot \frac{4 y - 3}{x}

$\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y - 3} \cdot \frac{4 y - 3}{x}$

ステップ 1.4

4 y - 3

$4 y - 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y - 3} \cdot \frac{4 y - 3}{x}

$\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y - 3} \cdot \frac{4 y - 3}{x}$

ステップ 1.4.2

式を書き換えます。

\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}

$\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}

$\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

\frac{1}{4 y - 3} d y = \frac{1}{x} d x

$\frac{1}{4 y - 3} d y = \frac{1}{x} d x$

\frac{1}{4 y - 3} d y = \frac{1}{x} d x

$\frac{1}{4 y - 3} d y = \frac{1}{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

\int \frac{1}{4 y - 3} d y = \int \frac{1}{x} d x

$\int \frac{1}{4 y - 3} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

u = 4 y - 3

$u = 4 y - 3$ とします。次に

d u = 4 d y

$d u = 4 d y$ すると、

\frac{1}{4} d u = d y

$\frac{1}{4} d u = d y$ です。

u

$u$ と

d

$d$

u

$u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

u = 4 y - 3

$u = 4 y - 3$ とします。

\frac{d u}{d y}

$\frac{d u}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

4 y - 3

$4 y - 3$ を微分します。

\frac{d}{d y} [4 y - 3]

$\frac{d}{d y} [4 y - 3]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、

4 y - 3

$4 y - 3$ の

y

$y$ に関する積分は

\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3]

$\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ です。

\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3]

$\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

ステップ 2.2.1.1.3

\frac{d}{d y} [4 y]

$\frac{d}{d y} [4 y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.3.1

4

$4$ は

y

$y$ に対して定数なので、

y

$y$ に対する

4 y

$4 y$ の微分係数は

4 \frac{d}{d y} [y]

$4 \frac{d}{d y} [y]$ です。

4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]

$4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

ステップ 2.2.1.1.3.2

n = 1

$n = 1$ のとき、

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 3]

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

ステップ 2.2.1.1.3.3

4

$4$ に

1

$1$ をかけます。

4 + \frac{d}{d y} [- 3]

$4 + \frac{d}{d y} [- 3]$

4 + \frac{d}{d y} [- 3]

$4 + \frac{d}{d y} [- 3]$

ステップ 2.2.1.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.4.1

- 3

$- 3$ は

y

$y$ について定数なので、

y

$y$ について

- 3

$- 3$ の微分係数は

0

$0$ です。

4 + 0

$4 + 0$

ステップ 2.2.1.1.4.2

4

$4$ と

0

$0$ をたし算します。

4

$4$

4

$4$

4

$4$

ステップ 2.2.1.2

u

$u$ と

d u

$d u$ を利用して問題を書き換えます。

\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u = \int \frac{1}{x} d x

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u = \int \frac{1}{x} d x$

\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u = \int \frac{1}{x} d x

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

\frac{1}{u}

$\frac{1}{u}$ に

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ をかけます。

\int \frac{1}{u \cdot 4} d u = \int \frac{1}{x} d x

$\int \frac{1}{u \cdot 4} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.2.2

4

$4$ を

u

$u$ の左に移動させます。

\int \frac{1}{4 u} d u = \int \frac{1}{x} d x

$\int \frac{1}{4 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

\int \frac{1}{4 u} d u = \int \frac{1}{x} d x

$\int \frac{1}{4 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.3

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ は

u

$u$ に対して定数なので、

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.4

\frac{1}{u}

$\frac{1}{u}$ の

u

$u$ に関する積分は

\ln (| u |)

$\ln (| u |)$ です。

\frac{1}{4} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x

$\frac{1}{4} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.5

簡約します。

\frac{1}{4} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x

$\frac{1}{4} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.6

u

$u$ のすべての発生を

4 y - 3

$4 y - 3$ で置き換えます。

\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ の

x

$x$ に関する積分は

\ln (| x |)

$\ln (| x |)$ です。

\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を

C

$C$ としてまとめます。

\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) = \ln (| x |) + C

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) = \ln (| x |) + C$

\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) = \ln (| x |) + C

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) = \ln (| x |) + C$

ステップ 3

y

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺に

4

$4$ を掛けます。

4 (\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |)) = 4 (\ln (| x |) + C)

$4 (\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |)) = 4 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

4 (\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |))

$4 (\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ と

\ln (| 4 y - 3 |)

$\ln (| 4 y - 3 |)$ をまとめます。

4 \frac{\ln (| 4 y - 3 |)}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)

$4 \frac{\ln (| 4 y - 3 |)}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2

4

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

4 \frac{\ln (| 4 y - 3 |)}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)

$4 \frac{\ln (| 4 y - 3 |)}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

\ln (| 4 y - 3 |) = 4 (\ln (| x |) + C)

$\ln (| 4 y - 3 |) = 4 (\ln (| x |) + C)$

\ln (| 4 y - 3 |) = 4 (\ln (| x |) + C)

$\ln (| 4 y - 3 |) = 4 (\ln (| x |) + C)$

\ln (| 4 y - 3 |) = 4 (\ln (| x |) + C)

$\ln (| 4 y - 3 |) = 4 (\ln (| x |) + C)$

\ln (| 4 y - 3 |) = 4 (\ln (| x |) + C)

$\ln (| 4 y - 3 |) = 4 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

分配則を当てはめます。

\ln (| 4 y - 3 |) = 4 \ln (| x |) + 4 C

$\ln (| 4 y - 3 |) = 4 \ln (| x |) + 4 C$

\ln (| 4 y - 3 |) = 4 \ln (| x |) + 4 C

$\ln (| 4 y - 3 |) = 4 \ln (| x |) + 4 C$

\ln (| 4 y - 3 |) = 4 \ln (| x |) + 4 C

$\ln (| 4 y - 3 |) = 4 \ln (| x |) + 4 C$

ステップ 3.3

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

\ln (| 4 y - 3 |) - 4 \ln (| x |) = 4 C

$\ln (| 4 y - 3 |) - 4 \ln (| x |) = 4 C$

ステップ 3.4

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

\ln (| 4 y - 3 |) - 4 \ln (| x |)

$\ln (| 4 y - 3 |) - 4 \ln (| x |)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1.1

対数の中の

4

$4$ を移動させて

- 4 \ln (| x |)

$- 4 \ln (| x |)$ を簡約します。

\ln (| 4 y - 3 |) - \ln ({| x |}^{4}) = 4 C

$\ln (| 4 y - 3 |) - \ln ({| x |}^{4}) = 4 C$

ステップ 3.4.1.1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、

{| x |}^{4}

${| x |}^{4}$ の絶対値を削除します。

\ln (| 4 y - 3 |) - \ln (x^{4}) = 4 C

$\ln (| 4 y - 3 |) - \ln (x^{4}) = 4 C$

\ln (| 4 y - 3 |) - \ln (x^{4}) = 4 C

$\ln (| 4 y - 3 |) - \ln (x^{4}) = 4 C$

ステップ 3.4.1.2

対数の商の性質を使います、

\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}) = 4 C

$\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}) = 4 C$

\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}) = 4 C

$\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}) = 4 C$

\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}) = 4 C

$\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}) = 4 C$

ステップ 3.5

y

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

e^{\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}})} = e^{4 C}

$e^{\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}})} = e^{4 C}$

ステップ 3.6

対数の定義を利用して

\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}) = 4 C

$\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}) = 4 C$ を指数表記に書き換えます。

x

$x$ と

b

$b$ が正の実数で

b \neq 1

$b \neq 1$ ならば、

\log_{b} (x) = y

$\log_{b} (x) = y$ は

b^{y} = x

$b^{y} = x$ と同値です。

e^{4 C} = \frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}

$e^{4 C} = \frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}$

ステップ 3.7

y

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

方程式を

\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} = e^{4 C}

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} = e^{4 C}$ として書き換えます。

\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} = e^{4 C}

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} = e^{4 C}$

ステップ 3.7.2

両辺に

x^{4}

$x^{4}$ を掛けます。

\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} x^{4} = e^{4 C} x^{4}

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} x^{4} = e^{4 C} x^{4}$

ステップ 3.7.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.3.1.1

x^{4}

$x^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.3.1.1.1

共通因数を約分します。

\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} x^{4} = e^{4 C} x^{4}

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} x^{4} = e^{4 C} x^{4}$

ステップ 3.7.3.1.1.2

式を書き換えます。

| 4 y - 3 | = e^{4 C} x^{4}

$| 4 y - 3 | = e^{4 C} x^{4}$

| 4 y - 3 | = e^{4 C} x^{4}

$| 4 y - 3 | = e^{4 C} x^{4}$

| 4 y - 3 | = e^{4 C} x^{4}

$| 4 y - 3 | = e^{4 C} x^{4}$

ステップ 3.7.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.3.2.1

e^{4 C} x^{4}

$e^{4 C} x^{4}$ の因数を並べ替えます。

| 4 y - 3 | = x^{4} e^{4 C}

$| 4 y - 3 | = x^{4} e^{4 C}$

| 4 y - 3 | = x^{4} e^{4 C}

$| 4 y - 3 | = x^{4} e^{4 C}$

| 4 y - 3 | = x^{4} e^{4 C}

$| 4 y - 3 | = x^{4} e^{4 C}$

ステップ 3.7.4

y

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.4.1

絶対値の項を削除します。これにより、

| x | = \pm x

$| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に

\pm

$\pm$ ができます。

4 y - 3 = \pm x^{4} e^{4 C}

$4 y - 3 = \pm x^{4} e^{4 C}$

ステップ 3.7.4.2

方程式の両辺に

3

$3$ を足します。

4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3

$4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3$

ステップ 3.7.4.3

4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3

$4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3$ の各項を

4

$4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.4.3.1

4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3

$4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3$ の各項を

4

$4$ で割ります。

\frac{4 y}{4} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}

$\frac{4 y}{4} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}$

ステップ 3.7.4.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.4.3.2.1

4

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.4.3.2.1.1

共通因数を約分します。

\frac{4 y}{4} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}

$\frac{4 y}{4} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}$

ステップ 3.7.4.3.2.1.2

y

$y$ を

1

$1$ で割ります。

y = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}