微分積分例

$\frac{d y}{d x} - x = x^{2}$ , $(- 2, 2)$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺に $x$ を足します。

$\frac{d y}{d x} = x^{2} + x$

ステップ 1.2

方程式を書き換えます。

$d y = (x^{2} + x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int x^{2} + x d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int x^{2} + x d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int x d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int x d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{3}$

ステップ 2.3.4

簡約します。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$ の $- 2$ を $x$ に、 $2$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$2 = \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$ として書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

ステップ 4.2

$\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{3} \cdot - 8 + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

ステップ 4.2.1.2

$\frac{1}{3}$ と $- 8$ をまとめます。

$\frac{- 8}{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

ステップ 4.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

ステップ 4.2.1.4

$- 2$ を $2$ 乗します。

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot 4 + K = 2$

ステップ 4.2.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.5.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot (2 (2)) + K = 2$

ステップ 4.2.1.5.2

共通因数を約分します。

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + K = 2$

ステップ 4.2.1.5.3

式を書き換えます。

$- \frac{8}{3} + 2 + K = 2$

ステップ 4.2.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- \frac{8}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} + K = 2$

ステップ 4.2.3

$2$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + K = 2$

ステップ 4.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 8 + 2 \cdot 3}{3} + K = 2$

ステップ 4.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.5.1

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 8 + 6}{3} + K = 2$

ステップ 4.2.5.2

$- 8$ と $6$ をたし算します。

$\frac{- 2}{3} + K = 2$

ステップ 4.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{3} + K = 2$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺に $\frac{2}{3}$ を足します。

$K = 2 + \frac{2}{3}$

ステップ 4.3.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$K = 2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

ステップ 4.3.3

$2$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$K = \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}$

ステップ 4.3.4

公分母の分子をまとめます。

$K = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3}$

ステップ 4.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.5.1

$2$ に $3$ をかけます。

$K = \frac{6 + 2}{3}$

ステップ 4.3.5.2

$6$ と $2$ をたし算します。

$K = \frac{8}{3}$

ステップ 5

$\frac{8}{3}$ を $y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{8}{3}$ を $K$ に代入します。

$y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{8}{3}$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{8}{3}$

ステップ 5.2.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{8}{3}$

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