微分積分例

\frac{d y}{d t} = e^{t}

$\frac{d y}{d t} = e^{t}$ ,

y (0) = 0

$y (0) = 0$ ,

t = 1

$t = 1$ ,

h = 0.1

$h = 0.1$

ステップ 1

\frac{d y}{d t} = f (t, y)

$\frac{d y}{d t} = f (t, y)$ であるような

f (t, y)

$f (t, y)$ を定義します。

f (t, y) = e^{t}

$f (t, y) = e^{t}$

ステップ 2

f (0, 0)

$f (0, 0)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

0

$0$ を

t

$t$ に、

0

$0$ を

y

$y$ に代入します。

f (0, 0) = e^{0}

$f (0, 0) = e^{0}$

ステップ 2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

e

$e$ を概算で置き換えます。

f (0, 0) = {2.71828182}^{0}

$f (0, 0) = {2.71828182}^{0}$

ステップ 2.2.2

2.71828182

$2.71828182$ を

0

$0$ 乗します。

f (0, 0) = 1

$f (0, 0) = 1$

f (0, 0) = 1

$f (0, 0) = 1$

f (0, 0) = 1

$f (0, 0) = 1$

ステップ 3

再帰式

y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})

$y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})$ を利用し、

y_{1}

$y_{1}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

代入します。

y_{1} = 0 + 0.1 \cdot 1

$y_{1} = 0 + 0.1 \cdot 1$

ステップ 3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

0.1

$0.1$ に

1

$1$ をかけます。

y_{1} = 0 + 0.1

$y_{1} = 0 + 0.1$

ステップ 3.2.2

0

$0$ と

0.1

$0.1$ をたし算します。

y_{1} = 0.1

$y_{1} = 0.1$

y_{1} = 0.1

$y_{1} = 0.1$

y_{1} = 0.1

$y_{1} = 0.1$

ステップ 4

再帰式

t_{1} = t_{0} + h

$t_{1} = t_{0} + h$ を利用し、

t_{1}

$t_{1}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

代入します。

t_{1} = 0 + 0.1

$t_{1} = 0 + 0.1$

ステップ 4.2

0

$0$ と

0.1

$0.1$ をたし算します。

t_{1} = 0.1

$t_{1} = 0.1$

t_{1} = 0.1

$t_{1} = 0.1$

ステップ 5

f (0.1, 0.1)

$f (0.1, 0.1)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

0.1

$0.1$ を

t

$t$ に、

0.1

$0.1$ を

y

$y$ に代入します。

f (0.1, 0.1) = e^{0.1}

$f (0.1, 0.1) = e^{0.1}$

ステップ 5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

e

$e$ を概算で置き換えます。

f (0.1, 0.1) = {2.71828182}^{0.1}

$f (0.1, 0.1) = {2.71828182}^{0.1}$

ステップ 5.2.2

2.71828182

$2.71828182$ を

0.1

$0.1$ 乗します。

f (0.1, 0.1) = 1.10517091

$f (0.1, 0.1) = 1.10517091$

f (0.1, 0.1) = 1.10517091

$f (0.1, 0.1) = 1.10517091$

f (0.1, 0.1) = 1.10517091

$f (0.1, 0.1) = 1.10517091$

ステップ 6

再帰式

y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})

$y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})$ を利用し、

y_{2}

$y_{2}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

代入します。

y_{2} = 0.1 + 0.1 \cdot 1.10517091

$y_{2} = 0.1 + 0.1 \cdot 1.10517091$

ステップ 6.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

0.1

$0.1$ に

1.10517091

$1.10517091$ をかけます。

y_{2} = 0.1 + 0.11051709

$y_{2} = 0.1 + 0.11051709$

ステップ 6.2.2

0.1

$0.1$ と

0.11051709

$0.11051709$ をたし算します。

y_{2} = 0.21051709

$y_{2} = 0.21051709$

y_{2} = 0.21051709

$y_{2} = 0.21051709$

y_{2} = 0.21051709

$y_{2} = 0.21051709$

ステップ 7

再帰式

t_{2} = t_{1} + h

$t_{2} = t_{1} + h$ を利用し、

t_{2}

$t_{2}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

代入します。

t_{2} = 0.1 + 0.1

$t_{2} = 0.1 + 0.1$

ステップ 7.2

0.1

$0.1$ と

0.1

$0.1$ をたし算します。

t_{2} = 0.2

$t_{2} = 0.2$

t_{2} = 0.2

$t_{2} = 0.2$

ステップ 8

望ましい値に近づくまで同じ方法を続けます。

ステップ 9

表に概算値を表記します。

\begin{matrix} t_{n} & y_{n} 0 & 0 0.1 & 0.1 0.2 & 0.21051709 0.3 & 0.33265736 0.4 & 0.46764324 0.5 & 0.61682571 0.6 & 0.78169784 0.7 & 0.96390972 0.8 & 1.16528499 0.9 & 1.38783908 1 & 1.63379939 \end{matrix}

$\begin{array}{c} t_{n} & y_{n} \\ 0 & 0 \\ 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.21051709 \\ 0.3 & 0.33265736 \\ 0.4 & 0.46764324 \\ 0.5 & 0.61682571 \\ 0.6 & 0.78169784 \\ 0.7 & 0.96390972 \\ 0.8 & 1.16528499 \\ 0.9 & 1.38783908 \\ 1 & 1.63379939 \end{array}$

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