微分積分例

y = x^{ln (x)}

$y = x^{\ln (x)}$

ステップ 1

y = f (x)

$y = f (x)$ とし、両辺

ln (y) = ln (f (x))

$\ln (y) = \ln (f (x))$ の自然対数を取ります。

ln (y) = ln (x^{ln (x)})

$\ln (y) = \ln (x^{\ln (x)})$

ステップ 2

右側を展開します。

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ステップ 2.1

ln (x)

$\ln (x)$ を対数の外に移動させて、

ln (x^{ln (x)})

$\ln (x^{\ln (x)})$ を展開します。

ln (y) = ln (x) ln (x)

$\ln (y) = \ln (x) \ln (x)$

ステップ 2.2

ln (x)

$\ln (x)$ を

1

$1$ 乗します。

ln (y) = {ln}^{1} (x) ln (x)

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln (x)$

ステップ 2.3

ln (x)

$\ln (x)$ を

1

$1$ 乗します。

ln (y) = {ln}^{1} (x) {ln}^{1} (x)

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln^{1} (x)$

ステップ 2.4

べき乗則

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

ln (y) = {ln (x)}^{1 + 1}

$\ln (y) = {\ln (x)}^{1 + 1}$

ステップ 2.5

1

$1$ と

1

$1$ をたし算します。

ln (y) = {ln}^{2} (x)

$\ln (y) = \ln^{2} (x)$

ln (y) = {ln}^{2} (x)

$\ln (y) = \ln^{2} (x)$

ステップ 3

連鎖律を利用して式を微分します。

y

$y$ が

x

$x$ の関数であることを覚えておいてください。

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ステップ 3.1

連鎖律を利用して左側

ln (y)

$\ln (y)$ を微分します。

\frac{y'}{y} = {ln}^{2} (x)

$\frac{y'}{y} = \ln^{2} (x)$

ステップ 3.2

右側を微分します。

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ステップ 3.2.1

{ln}^{2} (x)

$\ln^{2} (x)$ を微分します。

\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [{ln}^{2} (x)]

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

ステップ 3.2.2

f (x) = x^{2}

$f (x) = x^{2}$ および

g (x) = ln (x)

$g (x) = \ln (x)$ のとき、

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、

u

$u$ を

ln (x)

$\ln (x)$ とします。

\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [ln (x)]

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.2.2.2

n = 2

$n = 2$ のとき、

\frac{d}{d u} [u^{n}]

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は

n u^{n - 1}

$n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

\frac{y'}{y} = 2 u \frac{d}{d x} [ln (x)]

$\frac{y'}{y} = 2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.2.2.3

u

$u$ のすべての発生を

ln (x)

$\ln (x)$ で置き換えます。

\frac{y'}{y} = 2 ln (x) \frac{d}{d x} [ln (x)]

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

\frac{y'}{y} = 2 ln (x) \frac{d}{d x} [ln (x)]

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.2.3

x

$x$ に関する

ln (x)

$\ln (x)$ の微分係数は

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ です。

\frac{y'}{y} = 2 ln (x) \frac{1}{x}

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{1}{x}$

ステップ 3.2.4

分数をまとめます。

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ステップ 3.2.4.1

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ と

2

$2$ をまとめます。

\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} ln (x)

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} \ln (x)$

ステップ 3.2.4.2

\frac{2}{x}

$\frac{2}{x}$ と

ln (x)

$\ln (x)$ をまとめます。

\frac{y'}{y} = \frac{2 ln (x)}{x}

$\frac{y'}{y} = \frac{2 \ln (x)}{x}$

\frac{y'}{y} = \frac{2 ln (x)}{x}

$\frac{y'}{y} = \frac{2 \ln (x)}{x}$

ステップ 3.2.5

対数の中の

2

$2$ を移動させて

2 ln (x)

$2 \ln (x)$ を簡約します。

\frac{y'}{y} = \frac{ln (x^{2})}{x}

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

\frac{y'}{y} = \frac{ln (x^{2})}{x}

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

\frac{y'}{y} = \frac{ln (x^{2})}{x}

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

ステップ 4

y'

$y'$ を取り出し、右側の

y

$y$ に元の関数を代入します。

y' = \frac{ln (x^{2})}{x} x^{ln (x)}

$y' = \frac{\ln (x^{2})}{x} x^{\ln (x)}$

ステップ 5

右側を簡約します。

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ステップ 5.1

\frac{ln (x^{2})}{x}

$\frac{\ln (x^{2})}{x}$ と

x^{ln (x)}

$x^{\ln (x)}$ をまとめます。

y' = \frac{ln (x^{2}) x^{ln (x)}}{x}

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}}{x}$

ステップ 5.2

x^{ln (x)}

$x^{\ln (x)}$ と

x

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

x

$x$ を

ln (x^{2}) x^{ln (x)}

$\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}$ で因数分解します。

y' = \frac{x (ln (x^{2}) x^{ln (x) - 1})}{x}

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x}$

ステップ 5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

x

$x$ を

1

$1$ 乗します。

y' = \frac{x (ln (x^{2}) x^{ln (x) - 1})}{x^{1}}

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x^{1}}$

ステップ 5.2.2.2

x

$x$ を

x^{1}

$x^{1}$ で因数分解します。

y' = \frac{x (ln (x^{2}) x^{ln (x) - 1})}{x \cdot 1}

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

ステップ 5.2.2.3

共通因数を約分します。

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

ステップ 5.2.2.4

式を書き換えます。

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}}{1}$

ステップ 5.2.2.5

$\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ を

$1$ で割ります。

$y' = \ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$

ステップ 5.3

$\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ の因数を並べ替えます。

$y' = x^{\ln (x) - 1} \ln (x^{2})$

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微分積分 例

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