微分積分例

{(x - y)}^{2} = x + y - 1

${(x - y)}^{2} = x + y - 1$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

\frac{d}{d y} ({(x - y)}^{2}) = \frac{d}{d y} (x + y - 1)

$\frac{d}{d y} ({(x - y)}^{2}) = \frac{d}{d y} (x + y - 1)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

{(x - y)}^{2}

${(x - y)}^{2}$ を

(x - y) (x - y)

$(x - y) (x - y)$ に書き換えます。

\frac{d}{d y} [(x - y) (x - y)]

$\frac{d}{d y} [(x - y) (x - y)]$

ステップ 2.2

分配法則（FOIL法）を使って

(x - y) (x - y)

$(x - y) (x - y)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

分配則を当てはめます。

\frac{d}{d y} [x (x - y) - y (x - y)]

$\frac{d}{d y} [x (x - y) - y (x - y)]$

ステップ 2.2.2

分配則を当てはめます。

\frac{d}{d y} [x \cdot x + x (- y) - y (x - y)]

$\frac{d}{d y} [x \cdot x + x (- y) - y (x - y)]$

ステップ 2.2.3

分配則を当てはめます。

\frac{d}{d y} [x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)]

$\frac{d}{d y} [x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)]$

\frac{d}{d y} [x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)]

$\frac{d}{d y} [x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)]$

ステップ 2.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

x

$x$ に

x

$x$ をかけます。

\frac{d}{d y} [x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)]

$\frac{d}{d y} [x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)]$

ステップ 2.3.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - y (- y)]

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - y (- y)]$

ステップ 2.3.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y]

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y]$

ステップ 2.3.1.4

指数を足して

y

$y$ に

y

$y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.4.1

y

$y$ を移動させます。

\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)]

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)]$

ステップ 2.3.1.4.2

y

$y$ に

y

$y$ をかけます。

\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}]

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}]$

\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}]

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}]$

ステップ 2.3.1.5

- 1

$- 1$ に

- 1

$- 1$ をかけます。

\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}]

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}]$

ステップ 2.3.1.6

y^{2}

$y^{2}$ に

1

$1$ をかけます。

\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x + y^{2}]

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x + y^{2}]$

\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x + y^{2}]

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x + y^{2}]$

ステップ 2.3.2

- x y

$- x y$ から

y x

$y x$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

y

$y$ を移動させます。

\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}]

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}]$

ステップ 2.3.2.2

- x y

$- x y$ から

x y

$x y$ を引きます。

\frac{d}{d y} [x^{2} - 2 x y + y^{2}]

$\frac{d}{d y} [x^{2} - 2 x y + y^{2}]$

\frac{d}{d y} [x^{2} - 2 x y + y^{2}]

$\frac{d}{d y} [x^{2} - 2 x y + y^{2}]$

\frac{d}{d y} [x^{2} - 2 x y + y^{2}]

$\frac{d}{d y} [x^{2} - 2 x y + y^{2}]$

ステップ 2.4

総和則では、

x^{2} - 2 x y + y^{2}

$x^{2} - 2 x y + y^{2}$ の

y

$y$ に関する積分は

\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 2.5

f (y) = y^{2}

$f (y) = y^{2}$ および

g (y) = x

$g (y) = x$ のとき、

\frac{d}{d y} [f (g (y))]

$\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は

$f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

連鎖律を当てはめるために、

$u$ を

$x$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 2.5.2

$n = 2$ のとき、

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は

$n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 2.5.3

$u$ のすべての発生を

$x$ で置き換えます。

$2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 2.6

$\frac{d}{d y} [x]$ を

$x'$ に書き換えます。

$2 x x' + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 2.7

$- 2$ は

$y$ に対して定数なので、

$y$ に対する

$- 2 x y$ の微分係数は

$- 2 \frac{d}{d y} [x y]$ です。

$2 x x' - 2 \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 2.8

$f (y) = x$ および

$g (y) = y$ のとき、

$\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は

$f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 x x' - 2 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 2.9

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.1

$n = 1$ のとき、

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は

$n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x x' - 2 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 2.9.2

$x$ に

$1$ をかけます。

$2 x x' - 2 (x + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 2.10

$\frac{d}{d y} [x]$ を

$x'$ に書き換えます。

$2 x x' - 2 (x + y x') + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 2.11

$n = 2$ のとき、

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は

$n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x x' - 2 (x + y x') + 2 y$

ステップ 2.12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.1

分配則を当てはめます。

$2 x x' - 2 x - 2 (y x') + 2 y$

ステップ 2.12.2

不要な括弧を削除します。

$2 x x' - 2 x - 2 y x' + 2 y$

ステップ 2.12.3

項を並べ替えます。

$2 x x' - 2 y x' - 2 x + 2 y$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、

$x + y - 1$ の

$y$ に関する積分は

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d y} [x]$ を

$x'$ に書き換えます。

$x' + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は

$n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x' + 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.4

$- 1$ は

$y$ について定数なので、

$y$ について

$- 1$ の微分係数は

$0$ です。

$x' + 1 + 0$

ステップ 3.5

$x' + 1$ と

$0$ をたし算します。

$x' + 1$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 x x' - 2 y x' - 2 x + 2 y = x' + 1$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

方程式の両辺から

$x'$ を引きます。

$2 x x' - 2 y x' - 2 x + 2 y - x' = 1$

ステップ 5.2

$x'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

方程式の両辺に

$2 x$ を足します。

$2 x x' - 2 y x' + 2 y - x' = 1 + 2 x$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺から

$2 y$ を引きます。

$2 x x' - 2 y x' - x' = 1 + 2 x - 2 y$

ステップ 5.3

$x'$ を

$2 x x' - 2 y x' - x'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$x'$ を

$2 x x'$ で因数分解します。

$x' (2 x) - 2 y x' - x' = 1 + 2 x - 2 y$

ステップ 5.3.2

$x'$ を

$- 2 y x'$ で因数分解します。

$x' (2 x) + x' (- 2 y) - x' = 1 + 2 x - 2 y$

ステップ 5.3.3

$x'$ を

$- x'$ で因数分解します。

$x' (2 x) + x' (- 2 y) + x' \cdot - 1 = 1 + 2 x - 2 y$

ステップ 5.3.4

$x'$ を

$x' (2 x) + x' (- 2 y)$ で因数分解します。

$x' (2 x - 2 y) + x' \cdot - 1 = 1 + 2 x - 2 y$

ステップ 5.3.5

$x'$ を

$x' (2 x - 2 y) + x' \cdot - 1$ で因数分解します。

$x' (2 x - 2 y - 1) = 1 + 2 x - 2 y$

ステップ 5.4

$x' (2 x - 2 y - 1) = 1 + 2 x - 2 y$ の各項を

$2 x - 2 y - 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$x' (2 x - 2 y - 1) = 1 + 2 x - 2 y$ の各項を

$2 x - 2 y - 1$ で割ります。

$\frac{x' (2 x - 2 y - 1)}{2 x - 2 y - 1} = \frac{1}{2 x - 2 y - 1} + \frac{2 x}{2 x - 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 2 y - 1}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

$2 x - 2 y - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' (2 x - 2 y - 1)}{2 x - 2 y - 1} = \frac{1}{2 x - 2 y - 1} + \frac{2 x}{2 x - 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 2 y - 1}$

ステップ 5.4.2.1.2

$x'$ を

$1$ で割ります。

$x' = \frac{1}{2 x - 2 y - 1} + \frac{2 x}{2 x - 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 2 y - 1}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x' = \frac{1}{2 x - 2 y - 1} + \frac{2 x}{2 x - 2 y - 1} - \frac{2 y}{2 x - 2 y - 1}$

ステップ 5.4.3.2

公分母の分子をまとめます。

$x' = \frac{1 + 2 x}{2 x - 2 y - 1} - \frac{2 y}{2 x - 2 y - 1}$

ステップ 5.4.3.3

公分母の分子をまとめます。

$x' = \frac{1 + 2 x - 2 y}{2 x - 2 y - 1}$

ステップ 6

$x'$ を

$\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 x - 2 y}{2 x - 2 y - 1}$

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