微分積分例

x^{3} + y^{3} = 3 x y

$x^{3} + y^{3} = 3 x y$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (3 x y)

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (3 x y)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、

x^{3} + y^{3}

$x^{3} + y^{3}$ の

x

$x$ に関する積分は

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ です。

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.1.2

n = 3

$n = 3$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.2

\frac{d}{d x} [y^{3}]

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

f (x) = x^{3}

$f (x) = x^{3}$ および

g (x) = y

$g (x) = y$ のとき、

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は

$f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、

$u$ を

$y$ とします。

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.1.2

$n = 3$ のとき、

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は

$n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.1.3

$u$ のすべての発生を

$y$ で置き換えます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を

$y'$ に書き換えます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$3$ は

$x$ に対して定数なので、

$x$ に対する

$3 x y$ の微分係数は

$3 \frac{d}{d x} [x y]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3.2

$f (x) = x$ および

$g (x) = y$ のとき、

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を

$y'$ に書き換えます。

$3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (x y' + y \cdot 1)$

ステップ 3.5

$y$ に

$1$ をかけます。

$3 (x y' + y)$

ステップ 3.6

分配則を当てはめます。

$3 x y' + 3 y$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 3 x y' + 3 y$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から

$3 x y'$ を引きます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 3 x y' = 3 y$

ステップ 5.2

方程式の両辺から

$3 x^{2}$ を引きます。

$3 y^{2} y' - 3 x y' = 3 y - 3 x^{2}$

ステップ 5.3

$3 y'$ を

$3 y^{2} y' - 3 x y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$3 y'$ を

$3 y^{2} y'$ で因数分解します。

$3 y' y^{2} - 3 x y' = 3 y - 3 x^{2}$

ステップ 5.3.2

$3 y'$ を

$- 3 x y'$ で因数分解します。

$3 y' y^{2} + 3 y' (- x) = 3 y - 3 x^{2}$

ステップ 5.3.3

$3 y'$ を

$3 y' y^{2} + 3 y' (- x)$ で因数分解します。

$3 y' (y^{2} - x) = 3 y - 3 x^{2}$

ステップ 5.4

$3 y' (y^{2} - x) = 3 y - 3 x^{2}$ の各項を

$3 (y^{2} - x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$3 y' (y^{2} - x) = 3 y - 3 x^{2}$ の各項を

$3 (y^{2} - x)$ で割ります。

$\frac{3 y' (y^{2} - x)}{3 (y^{2} - x)} = \frac{3 y}{3 (y^{2} - x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - x)}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y' (y^{2} - x)}{3 (y^{2} - x)} = \frac{3 y}{3 (y^{2} - x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - x)}$

ステップ 5.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (y^{2} - x)}{y^{2} - x} = \frac{3 y}{3 (y^{2} - x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - x)}$

ステップ 5.4.2.2

$y^{2} - x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (y^{2} - x)}{y^{2} - x} = \frac{3 y}{3 (y^{2} - x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - x)}$

ステップ 5.4.2.2.2

$y'$ を

$1$ で割ります。

$y' = \frac{3 y}{3 (y^{2} - x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - x)}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{3 y}{3 (y^{2} - x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - x)}$

ステップ 5.4.3.1.1.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{y}{y^{2} - x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - x)}$

ステップ 5.4.3.1.2

$- 3$ と

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.3.1.2.1

$3$ を

$- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y}{y^{2} - x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - x)}$

ステップ 5.4.3.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.3.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{y}{y^{2} - x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - x)}$

ステップ 5.4.3.1.2.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{y}{y^{2} - x} + \frac{- x^{2}}{y^{2} - x}$

ステップ 5.4.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{y}{y^{2} - x} - \frac{x^{2}}{y^{2} - x}$

ステップ 5.4.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{y - x^{2}}{y^{2} - x}$

ステップ 6

$y'$ を

$\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - x^{2}}{y^{2} - x}$

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