微分積分例

$x^{2} y + y^{4} = 4 + 2 x$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (x^{2} y + y^{4}) = \frac{d}{d y} (4 + 2 x)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{2} y + y^{4}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{4}]$ です。

$\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (y) = x^{2}$ および $g (y) = y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

ステップ 2.2.3

$f (y) = y^{2}$ および $g (y) = x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x$ とします。

$x^{2} \cdot 1 + y (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

ステップ 2.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} \cdot 1 + y (2 u \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

ステップ 2.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

ステップ 2.2.4

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

ステップ 2.2.5

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

ステップ 2.2.6

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$x^{2} + 2 y x x' + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

ステップ 2.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} + 2 y x x' + 4 y^{3}$

ステップ 2.3.2

項を並べ替えます。

$4 y^{3} + x^{2} + 2 x y x'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

微分します。

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ステップ 3.1.1

総和則では、 $4 + 2 x$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [2 x]$ です。

$\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [2 x]$

ステップ 3.1.2

$4$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [2 x]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d y} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d y} [x]$ です。

$0 + 2 \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 3.2.2

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$0 + 2 x'$

ステップ 3.3

$0$ と $2 x'$ をたし算します。

$2 x'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$4 y^{3} + x^{2} + 2 x y x' = 2 x'$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $2 x'$ を引きます。

$4 y^{3} + x^{2} + 2 x y x' - 2 x' = 0$

ステップ 5.2

$x'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $4 y^{3}$ を引きます。

$x^{2} + 2 x y x' - 2 x' = - 4 y^{3}$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$2 x y x' - 2 x' = - 4 y^{3} - x^{2}$

ステップ 5.3

$2 x'$ を $2 x y x' - 2 x'$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$2 x'$ を $2 x y x'$ で因数分解します。

$2 x' (x y) - 2 x' = - 4 y^{3} - x^{2}$

ステップ 5.3.2

$2 x'$ を $- 2 x'$ で因数分解します。

$2 x' (x y) + 2 x' \cdot - 1 = - 4 y^{3} - x^{2}$

ステップ 5.3.3

$2 x'$ を $2 x' (x y) + 2 x' \cdot - 1$ で因数分解します。

$2 x' (x y - 1) = - 4 y^{3} - x^{2}$

ステップ 5.4

$2 x' (x y - 1) = - 4 y^{3} - x^{2}$ の各項を $2 (x y - 1)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$2 x' (x y - 1) = - 4 y^{3} - x^{2}$ の各項を $2 (x y - 1)$ で割ります。

$\frac{2 x' (x y - 1)}{2 (x y - 1)} = \frac{- 4 y^{3}}{2 (x y - 1)} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x' (x y - 1)}{2 (x y - 1)} = \frac{- 4 y^{3}}{2 (x y - 1)} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

ステップ 5.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- 4 y^{3}}{2 (x y - 1)} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

ステップ 5.4.2.2

$x y - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- 4 y^{3}}{2 (x y - 1)} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

ステップ 5.4.2.2.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{- 4 y^{3}}{2 (x y - 1)} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1.1

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.3.1.1.1

$2$ を $- 4 y^{3}$ で因数分解します。

$x' = \frac{2 (- 2 y^{3})}{2 (x y - 1)} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

ステップ 5.4.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x' = \frac{2 (- 2 y^{3})}{2 (x y - 1)} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

ステップ 5.4.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x' = \frac{- 2 y^{3}}{x y - 1} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

ステップ 5.4.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x y - 1} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

ステップ 5.4.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x y - 1} - \frac{x^{2}}{2 (x y - 1)}$

ステップ 5.4.3.2

$- \frac{2 y^{3}}{x y - 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x y - 1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2 (x y - 1)}$

ステップ 5.4.3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x y - 1) \cdot 2$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.4.3.3.1

$\frac{2 y^{3}}{x y - 1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$x' = - \frac{2 y^{3} \cdot 2}{(x y - 1) \cdot 2} - \frac{x^{2}}{2 (x y - 1)}$

ステップ 5.4.3.3.2

$(x y - 1) \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$x' = - \frac{2 y^{3} \cdot 2}{2 (x y - 1)} - \frac{x^{2}}{2 (x y - 1)}$

ステップ 5.4.3.4

公分母の分子をまとめます。

$x' = \frac{- 2 y^{3} \cdot 2 - x^{2}}{2 (x y - 1)}$

ステップ 5.4.3.5

$2$ に $- 2$ をかけます。

$x' = \frac{- 4 y^{3} - x^{2}}{2 (x y - 1)}$

ステップ 5.4.3.6

$- 1$ を $- 4 y^{3}$ で因数分解します。

$x' = \frac{- (4 y^{3}) - x^{2}}{2 (x y - 1)}$

ステップ 5.4.3.7

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$x' = \frac{- (4 y^{3}) - (x^{2})}{2 (x y - 1)}$

ステップ 5.4.3.8

$- 1$ を $- (4 y^{3}) - (x^{2})$ で因数分解します。

$x' = \frac{- (4 y^{3} + x^{2})}{2 (x y - 1)}$

ステップ 5.4.3.9

式を簡約します。

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ステップ 5.4.3.9.1

$- (4 y^{3} + x^{2})$ を $- 1 (4 y^{3} + x^{2})$ に書き換えます。

$x' = \frac{- 1 (4 y^{3} + x^{2})}{2 (x y - 1)}$

ステップ 5.4.3.9.2

分数の前に負数を移動させます。

$x' = - \frac{4 y^{3} + x^{2}}{2 (x y - 1)}$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = - \frac{4 y^{3} + x^{2}}{2 (x y - 1)}$

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