微分積分例

\frac{x}{x^{2} - 8}

$\frac{x}{x^{2} - 8}$

ステップ 1

f (x) = x

$f (x) = x$ および

g (x) = x^{2} - 8

$g (x) = x^{2} - 8$ のとき、

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

\frac{(x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

n = 1

$n = 1$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

\frac{(x^{2} - 8) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - 8) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 2.2

x^{2} - 8

$x^{2} - 8$ に

1

$1$ をかけます。

\frac{x^{2} - 8 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 8 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 2.3

総和則では、

x^{2} - 8

$x^{2} - 8$ の

x

$x$ に関する積分は

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

\frac{x^{2} - 8 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} - 8)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 8 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 2.4

n = 2

$n = 2$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

\frac{x^{2} - 8 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} - 8)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 8 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 2.5

- 8

$- 8$ は

x

$x$ について定数なので、

x

$x$ について

- 8

$- 8$ の微分係数は

0

$0$ です。

\frac{x^{2} - 8 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 8 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.6.1

2 x

$2 x$ と

0

$0$ をたし算します。

\frac{x^{2} - 8 - x (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 8 - x (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 2.6.2

2

$2$ に

- 1

$- 1$ をかけます。

\frac{x^{2} - 8 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 8)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 8 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

\frac{x^{2} - 8 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 8)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 8 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

\frac{x^{2} - 8 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 8)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 8 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 3

x

$x$ を

1

$1$ 乗します。

\frac{x^{2} - 8 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 8 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 4

x

$x$ を

1

$1$ 乗します。

\frac{x^{2} - 8 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 8 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 5

べき乗則

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

\frac{x^{2} - 8 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 8 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 6

1

$1$ と

1

$1$ をたし算します。

\frac{x^{2} - 8 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 8 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 7

x^{2}

$x^{2}$ から

2 x^{2}

$2 x^{2}$ を引きます。

\frac{- x^{2} - 8}{{(x^{2} - 8)}^{2}}

$\frac{- x^{2} - 8}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

- 1

$- 1$ を

- x^{2}

$- x^{2}$ で因数分解します。

\frac{- (x^{2}) - 8}{{(x^{2} - 8)}^{2}}

$\frac{- (x^{2}) - 8}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 8.2

- 8

$- 8$ を

- 1 (8)

$- 1 (8)$ に書き換えます。

\frac{- (x^{2}) - 1 (8)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}

$\frac{- (x^{2}) - 1 (8)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 8.3

$- 1$ を

$- (x^{2}) - 1 (8)$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2} + 8)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 8.4

$- (x^{2} + 8)$ を

$- 1 (x^{2} + 8)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x^{2} + 8)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 8.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x^{2} + 8}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

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微分積分 例

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