微分積分例

$2 \sqrt{2 x - 2}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt{2 x - 2}$ を

${(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [2 {(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.2

$2$ は

$x$ に対して定数なので、

$x$ に対する

$2 {(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は

$2 \frac{d}{d x} [{(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [{(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および

$g (x) = 2 x - 2$ のとき、

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は

$f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、

$u$ を

$2 x - 2$ とします。

$2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x - 2])$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は

$n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 2])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を

$2 x - 2$ で置き換えます。

$2 (\frac{1}{2} {(2 x - 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 2])$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} {(2 x - 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 2])$

ステップ 4

$- 1$ と

$\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{1}{2} {(2 x - 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 2])$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$2 (\frac{1}{2} {(2 x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 2])$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に

$2$ をかけます。

$2 (\frac{1}{2} {(2 x - 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 2])$

ステップ 6.2

$1$ から

$2$ を引きます。

$2 (\frac{1}{2} {(2 x - 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 2])$

ステップ 7

項を簡約します。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$2 (\frac{1}{2} {(2 x - 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 2])$

ステップ 7.2

$\frac{1}{2}$ と

${(2 x - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$2 (\frac{{(2 x - 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 2])$

ステップ 7.3

負の指数法則

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して

${(2 x - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$2 (\frac{1}{2 {(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 2])$

ステップ 7.4

$\frac{1}{2 {(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ と

$2$ をまとめます。

$\frac{2}{2 {(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 2]$

ステップ 7.5

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2 {(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 2]$

ステップ 7.6

式を書き換えます。

$\frac{1}{{(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 2]$

ステップ 8

総和則では、

$2 x - 2$ の

$x$ に関する積分は

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{1}{{(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 9

$2$ は

$x$ に対して定数なので、

$x$ に対する

$2 x$ の微分係数は

$2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{{(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 10

$n = 1$ のとき、

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{{(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 11

$2$ に

$1$ をかけます。

$\frac{1}{{(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 12

$- 2$ は

$x$ について定数なので、

$x$ について

$- 2$ の微分係数は

$0$ です。

$\frac{1}{{(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0)$

ステップ 13

分数をまとめます。

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ステップ 13.1

$2$ と

$0$ をたし算します。

$\frac{1}{{(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2$

ステップ 13.2

$\frac{1}{{(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ と

$2$ をまとめます。

$\frac{2}{{(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

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