微分積分例

$\sin^{2} (6 x)$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (6 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sin (6 x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin (6 x)$ で置き換えます。

$2 \sin (6 x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

ステップ 2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 6 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $6 x$ とします。

$2 \sin (6 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$2 \sin (6 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $6 x$ で置き換えます。

$2 \sin (6 x) (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \sin (6 x) (\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \sin (6 x) (\cos (6 x) (6 \cdot 1))$

ステップ 3.3

式を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$6$ に $1$ をかけます。

$2 \sin (6 x) (\cos (6 x) \cdot 6)$

ステップ 3.3.2

$6$ を $\cos (6 x)$ の左に移動させます。

$2 \sin (6 x) (6 \cdot \cos (6 x))$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$6$ に $2$ をかけます。

$12 \sin (6 x) \cos (6 x)$

ステップ 4.2

$12 \sin (6 x) \cos (6 x)$ の因数を並べ替えます。

$12 \cos (6 x) \sin (6 x)$

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