微分積分例

$d (q) = 300 - 5 q$ , $s (q) = q^{2}$

ステップ 1

均衡点を求めます。

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ステップ 1.1

均衡量を求めます。

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ステップ 1.1.1

需要関数に等しい供給関数を設定して均衡点を求めます。

$300 - 5 q = q^{2}$

ステップ 1.1.2

$300 - 5 q = q^{2}$ を解きます。

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ステップ 1.1.2.1

方程式の両辺から $q^{2}$ を引きます。

$300 - 5 q - q^{2} = 0$

ステップ 1.1.2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1.2.2.1

$- 1$ を $300 - 5 q - q^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.2.2.1.1

式を並べ替えます。

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ステップ 1.1.2.2.1.1.1

$300$ を移動させます。

$- 5 q - q^{2} + 300 = 0$

ステップ 1.1.2.2.1.1.2

$- 5 q$ と $- q^{2}$ を並べ替えます。

$- q^{2} - 5 q + 300 = 0$

ステップ 1.1.2.2.1.2

$- 1$ を $- q^{2}$ で因数分解します。

$- (q^{2}) - 5 q + 300 = 0$

ステップ 1.1.2.2.1.3

$- 1$ を $- 5 q$ で因数分解します。

$- (q^{2}) - (5 q) + 300 = 0$

ステップ 1.1.2.2.1.4

$300$ を $- 1 (- 300)$ に書き換えます。

$- (q^{2}) - (5 q) - 1 \cdot - 300 = 0$

ステップ 1.1.2.2.1.5

$- 1$ を $- (q^{2}) - (5 q)$ で因数分解します。

$- (q^{2} + 5 q) - 1 \cdot - 300 = 0$

ステップ 1.1.2.2.1.6

$- 1$ を $- (q^{2} + 5 q) - 1 (- 300)$ で因数分解します。

$- (q^{2} + 5 q - 300) = 0$

ステップ 1.1.2.2.2

因数分解。

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ステップ 1.1.2.2.2.1

たすき掛けを利用して $q^{2} + 5 q - 300$ を因数分解します。

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ステップ 1.1.2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 300$ で、その和が $5$ です。

$- 15, 20$

ステップ 1.1.2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- ((q - 15) (q + 20)) = 0$

ステップ 1.1.2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (q - 15) (q + 20) = 0$

ステップ 1.1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$q - 15 = 0$

$q + 20 = 0$

ステップ 1.1.2.4

$q - 15$ を $0$ に等しくし、 $q$ を解きます。

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ステップ 1.1.2.4.1

$q - 15$ が $0$ に等しいとします。

$q - 15 = 0$

ステップ 1.1.2.4.2

方程式の両辺に $15$ を足します。

$q = 15$

ステップ 1.1.2.5

$q + 20$ を $0$ に等しくし、 $q$ を解きます。

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ステップ 1.1.2.5.1

$q + 20$ が $0$ に等しいとします。

$q + 20 = 0$

ステップ 1.1.2.5.2

方程式の両辺から $20$ を引きます。

$q = - 20$

ステップ 1.1.2.6

最終解は $- (q - 15) (q + 20) = 0$ を真にするすべての値です。

$q = 15, - 20$

ステップ 1.1.3

負の解は無視します。

$q = 15$

ステップ 1.2

均衡価格を求めます。

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ステップ 1.2.1

$d (q) = 300 - 5 q$ に $q$ の均衡量 $15$ を代入して均衡価格を求めます。

$d \cdot 15 = 300 - 5 \cdot 15$

ステップ 1.2.2

$d \cdot 15 = 300 - 5 \cdot 15$ を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$- 5$ に $15$ をかけます。

$d \cdot 15 = 300 - 75$

ステップ 1.2.2.2

$300$ から $75$ を引きます。

$d \cdot 15 = 225$

ステップ 1.3

均衡点を書きます。

$(15, 225)$

ステップ 2

$q_{eq}$ が均衡量、 $p_{eq}$ が均衡価格である消費者余剰 $\int_{0}^{q_{eq}} d (q) d q - q_{eq} p_{eq}$ を設定します。

$\int_{0}^{15} 300 - 5 q d q - 15 \cdot 225$

ステップ 3

積分を求め簡約します。

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ステップ 3.1

$- 15$ に $225$ をかけます。

$\int_{0}^{15} 300 - 5 q d q - 3375$

ステップ 3.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{15} 300 d q + \int_{0}^{15} - 5 q d q - 3375$

ステップ 3.3

定数の法則を当てはめます。

$300 q]_{0}^{15} + \int_{0}^{15} - 5 q d q - 3375$

ステップ 3.4

$- 5$ は $q$ に対して定数なので、 $- 5$ を積分の外に移動させます。

$300 q]_{0}^{15} - 5 \int_{0}^{15} q d q - 3375$

ステップ 3.5

べき乗則では、 $q$ の $q$ に関する積分は $\frac{1}{2} q^{2}$ です。

$300 q]_{0}^{15} - 5 (\frac{1}{2} q^{2}]_{0}^{15}) - 3375$

ステップ 3.6

答えを簡約します。

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ステップ 3.6.1

$\frac{1}{2}$ と $q^{2}$ をまとめます。

$300 q]_{0}^{15} - 5 (\frac{q^{2}}{2}]_{0}^{15}) - 3375$

ステップ 3.6.2

代入し簡約します。

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ステップ 3.6.2.1

$15$ および $0$ で $300 q$ の値を求めます。

$(300 \cdot 15) - 300 \cdot 0 - 5 (\frac{q^{2}}{2}]_{0}^{15}) - 3375$

ステップ 3.6.2.2

$15$ および $0$ で $\frac{q^{2}}{2}$ の値を求めます。

$300 \cdot 15 - 300 \cdot 0 - 5 (\frac{15^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3375$

ステップ 3.6.2.3

簡約します。

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ステップ 3.6.2.3.1

$300$ に $15$ をかけます。

$4500 - 300 \cdot 0 - 5 (\frac{15^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3375$

ステップ 3.6.2.3.2

$- 300$ に $0$ をかけます。

$4500 + 0 - 5 (\frac{15^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3375$

ステップ 3.6.2.3.3

$4500$ と $0$ をたし算します。

$4500 - 5 (\frac{15^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3375$

ステップ 3.6.2.3.4

$15$ を $2$ 乗します。

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3375$

ステップ 3.6.2.3.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{0}{2}) - 3375$

ステップ 3.6.2.3.6

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.2.3.6.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - 3375$

ステップ 3.6.2.3.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.2.3.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3375$

ステップ 3.6.2.3.6.2.2

共通因数を約分します。

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3375$

ステップ 3.6.2.3.6.2.3

式を書き換えます。

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{0}{1}) - 3375$

ステップ 3.6.2.3.6.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - 0) - 3375$

ステップ 3.6.2.3.7

$- 1$ に $0$ をかけます。

$4500 - 5 (\frac{225}{2} + 0) - 3375$

ステップ 3.6.2.3.8

$\frac{225}{2}$ と $0$ をたし算します。

$4500 - 5 (\frac{225}{2}) - 3375$

ステップ 3.6.2.3.9

$- 5$ と $\frac{225}{2}$ をまとめます。

$4500 + \frac{- 5 \cdot 225}{2} - 3375$

ステップ 3.6.2.3.10

$- 5$ に $225$ をかけます。

$4500 + \frac{- 1125}{2} - 3375$

ステップ 3.6.2.3.11

分数の前に負数を移動させます。

$4500 - \frac{1125}{2} - 3375$

ステップ 3.6.2.3.12

$4500$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$4500 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1125}{2} - 3375$

ステップ 3.6.2.3.13

$4500$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{4500 \cdot 2}{2} - \frac{1125}{2} - 3375$

ステップ 3.6.2.3.14

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4500 \cdot 2 - 1125}{2} - 3375$

ステップ 3.6.2.3.15

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.2.3.15.1

$4500$ に $2$ をかけます。

$\frac{9000 - 1125}{2} - 3375$

ステップ 3.6.2.3.15.2

$9000$ から $1125$ を引きます。

$\frac{7875}{2} - 3375$

ステップ 3.6.2.3.16

$- 3375$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{7875}{2} - 3375 \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 3.6.2.3.17

$- 3375$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{7875}{2} + \frac{- 3375 \cdot 2}{2}$

ステップ 3.6.2.3.18

公分母の分子をまとめます。

$\frac{7875 - 3375 \cdot 2}{2}$

ステップ 3.6.2.3.19

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.2.3.19.1

$- 3375$ に $2$ をかけます。

$\frac{7875 - 6750}{2}$

ステップ 3.6.2.3.19.2

$7875$ から $6750$ を引きます。

$\frac{1125}{2}$

ステップ 3.7

$1125$ を $2$ で割ります。

$562.5$

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