微分積分例

$y = x^{2} - 2 x$ ,

$y = x$

ステップ 1

立体の体積を求めるために、まず各部分の面積を定義し、その値域で積分します。各部分の面積は半径

$f (x)$ と

$A = π r^{2}$ を持つ円の面積です。

$f (x) = x$ および

$g (x) = x^{2} - 2 x$ ならば

$V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$

ステップ 2

被積分関数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

${(x^{2} - 2 x)}^{2}$ を

$(x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x)$ に書き換えます。

$V = x^{2} - ((x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x))$

ステップ 2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って

$(x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$V = x^{2} - (x^{2} (x^{2} - 2 x) - 2 x (x^{2} - 2 x))$

ステップ 2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$V = x^{2} - (x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) - 2 x (x^{2} - 2 x))$

ステップ 2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$V = x^{2} - (x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

ステップ 2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.1

指数を足して

$x^{2}$ に

$x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.1.1

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$V = x^{2} - (x^{2 + 2} + x^{2} (- 2 x) - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

ステップ 2.1.3.1.1.2

$2$ と

$2$ をたし算します。

$V = x^{2} - (x^{4} + x^{2} (- 2 x) - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

ステップ 2.1.3.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{2} x - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

ステップ 2.1.3.1.3

指数を足して

$x^{2}$ に

$x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.3.1

$x$ を移動させます。

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

ステップ 2.1.3.1.3.2

$x$ に

$x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.3.2.1

$x$ を

$1$ 乗します。

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

ステップ 2.1.3.1.3.2.2

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{1 + 2} - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

ステップ 2.1.3.1.3.3

$1$ と

$2$ をたし算します。

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

ステップ 2.1.3.1.4

指数を足して

$x$ に

$x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.4.1

$x^{2}$ を移動させます。

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 (x^{2} x) - 2 x (- 2 x))$

ステップ 2.1.3.1.4.2

$x^{2}$ に

$x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.4.2.1

$x$ を

$1$ 乗します。

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 (x^{2} x) - 2 x (- 2 x))$

ステップ 2.1.3.1.4.2.2

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{2 + 1} - 2 x (- 2 x))$

ステップ 2.1.3.1.4.3

$2$ と

$1$ をたし算します。

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 x (- 2 x))$

ステップ 2.1.3.1.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot (- 2 x \cdot x))$

ステップ 2.1.3.1.6

指数を足して

$x$ に

$x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.6.1

$x$ を移動させます。

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)))$

ステップ 2.1.3.1.6.2

$x$ に

$x$ をかけます。

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot (- 2 x^{2}))$

ステップ 2.1.3.1.7

$- 2$ に

$- 2$ をかけます。

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{3} + 4 x^{2})$

ステップ 2.1.3.2

$- 2 x^{3}$ から

$2 x^{3}$ を引きます。

$V = x^{2} - (x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2})$

ステップ 2.1.4

分配則を当てはめます。

$V = x^{2} - x^{4} - (- 4 x^{3}) - (4 x^{2})$

ステップ 2.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1

$- 4$ に

$- 1$ をかけます。

$V = x^{2} - x^{4} + 4 x^{3} - (4 x^{2})$

ステップ 2.1.5.2

$4$ に

$- 1$ をかけます。

$V = x^{2} - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x^{2}$

ステップ 2.2

$x^{2}$ から

$4 x^{2}$ を引きます。

$V = - x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2}$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$V = π (\int_{0}^{3} - x^{4} d x + \int_{0}^{3} 4 x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

ステップ 4

$- 1$ は

$x$ に対して定数なので、

$- 1$ を積分の外に移動させます。

$V = π (- \int_{0}^{3} x^{4} d x + \int_{0}^{3} 4 x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

ステップ 5

べき乗則では、

$x^{4}$ の

$x$ に関する積分は

$\frac{1}{5} x^{5}$ です。

$V = π (- (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 4 x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

ステップ 6

$\frac{1}{5}$ と

$x^{5}$ をまとめます。

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 4 x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

ステップ 7

$4$ は

$x$ に対して定数なので、

$4$ を積分の外に移動させます。

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + 4 \int_{0}^{3} x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

ステップ 8

べき乗則では、

$x^{3}$ の

$x$ に関する積分は

$\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + 4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

ステップ 9

$\frac{1}{4}$ と

$x^{4}$ をまとめます。

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

ステップ 10

$- 3$ は

$x$ に対して定数なので、

$- 3$ を積分の外に移動させます。

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 \int_{0}^{3} x^{2} d x)$

ステップ 11

べき乗則では、

$x^{2}$ の

$x$ に関する積分は

$\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}))$

ステップ 12

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{1}{3}$ と

$x^{3}$ をまとめます。

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}))$

ステップ 12.2

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

$3$ および

$0$ で

$\frac{x^{5}}{5}$ の値を求めます。

$V = π (- ((\frac{3^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}))$

ステップ 12.2.2

$3$ および

$0$ で

$\frac{x^{4}}{4}$ の値を求めます。

$V = π (- (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}))$

ステップ 12.2.3

$3$ および

$0$ で

$\frac{x^{3}}{3}$ の値を求めます。

$V = π (- (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 12.2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.4.1

$3$ を

$5$ 乗します。

$V = π (- (\frac{243}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 12.2.4.2

$0$ を正数乗し、

$0$ を得ます。

$V = π (- (\frac{243}{5} - \frac{0}{5}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 12.2.4.3

$0$ と

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.4.3.1

$5$ を

$0$ で因数分解します。

$V = π (- (\frac{243}{5} - \frac{5 (0)}{5}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 12.2.4.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.4.3.2.1

$5$ を

$5$ で因数分解します。

$V = π (- (\frac{243}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 12.2.4.3.2.2

共通因数を約分します。

$V = π (- (\frac{243}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 12.2.4.3.2.3

式を書き換えます。

$V = π (- (\frac{243}{5} - \frac{0}{1}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 12.2.4.3.2.4

$0$ を

$1$ で割ります。

$V = π (- (\frac{243}{5} - 0) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 12.2.4.4

$- 1$ に

$0$ をかけます。

$V = π (- (\frac{243}{5} + 0) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 12.2.4.5

$\frac{243}{5}$ と

$0$ をたし算します。

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 12.2.4.6

$3$ を

$4$ 乗します。

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 12.2.4.7

$0$ を正数乗し、

$0$ を得ます。

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - \frac{0}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 12.2.4.8

$0$ と

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.4.8.1

$4$ を

$0$ で因数分解します。

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - \frac{4 (0)}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 12.2.4.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.4.8.2.1

$4$ を

$4$ で因数分解します。

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 12.2.4.8.2.2

共通因数を約分します。

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 12.2.4.8.2.3

式を書き換えます。

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - \frac{0}{1}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 12.2.4.8.2.4

$0$ を

$1$ で割ります。

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - 0) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 12.2.4.9

$- 1$ に

$0$ をかけます。

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} + 0) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 12.2.4.10

$\frac{81}{4}$ と

$0$ をたし算します。

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 12.2.4.11

$4$ と

$\frac{81}{4}$ をまとめます。

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{4 \cdot 81}{4} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 12.2.4.12

$4$ に

$81$ をかけます。

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{324}{4} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 12.2.4.13

$324$ と

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.4.13.1

$4$ を

$324$ で因数分解します。

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{4 \cdot 81}{4} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 12.2.4.13.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.4.13.2.1

$4$ を

$4$ で因数分解します。

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{4 \cdot 81}{4 (1)} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 12.2.4.13.2.2

共通因数を約分します。

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{4 \cdot 81}{4 \cdot 1} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 12.2.4.13.2.3

式を書き換えます。

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{81}{1} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 12.2.4.13.2.4

$81$ を

$1$ で割ります。

$V = π (- \frac{243}{5} + 81 - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 12.2.4.14

$81$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{5}{5}$ を掛けます。

$V = π (- \frac{243}{5} + 81 \cdot \frac{5}{5} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 12.2.4.15

$81$ と

$\frac{5}{5}$ をまとめます。

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{81 \cdot 5}{5} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 12.2.4.16

公分母の分子をまとめます。

$V = π (\frac{- 243 + 81 \cdot 5}{5} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 12.2.4.17

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.4.17.1

$81$ に

$5$ をかけます。

$V = π (\frac{- 243 + 405}{5} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 12.2.4.17.2

$- 243$ と

$405$ をたし算します。

$V = π (\frac{162}{5} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 12.2.4.18

$3$ を

$3$ 乗します。

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 12.2.4.19

$27$ と

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.4.19.1

$3$ を

$27$ で因数分解します。

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 12.2.4.19.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.4.19.2.1

$3$ を

$3$ で因数分解します。

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 12.2.4.19.2.2

共通因数を約分します。

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 12.2.4.19.2.3

式を書き換えます。

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 12.2.4.19.2.4

$9$ を

$1$ で割ります。

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 12.2.4.20

$0$ を正数乗し、

$0$ を得ます。

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{0}{3}))$

ステップ 12.2.4.21

$0$ と

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.4.21.1

$3$ を

$0$ で因数分解します。

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{3 (0)}{3}))$

ステップ 12.2.4.21.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.4.21.2.1

$3$ を

$3$ で因数分解します。

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

ステップ 12.2.4.21.2.2

共通因数を約分します。

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

ステップ 12.2.4.21.2.3

式を書き換えます。

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{0}{1}))$

ステップ 12.2.4.21.2.4

$0$ を

$1$ で割ります。

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - 0))$

ステップ 12.2.4.22

$- 1$ に

$0$ をかけます。

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 + 0))$

ステップ 12.2.4.23

$9$ と

$0$ をたし算します。

$V = π (\frac{162}{5} - 3 \cdot 9)$

ステップ 12.2.4.24

$- 3$ に

$9$ をかけます。

$V = π (\frac{162}{5} - 27)$

ステップ 12.2.4.25

$- 27$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{5}{5}$ を掛けます。

$V = π (\frac{162}{5} - 27 \cdot \frac{5}{5})$

ステップ 12.2.4.26

$- 27$ と

$\frac{5}{5}$ をまとめます。

$V = π (\frac{162}{5} + \frac{- 27 \cdot 5}{5})$

ステップ 12.2.4.27

公分母の分子をまとめます。

$V = π (\frac{162 - 27 \cdot 5}{5})$

ステップ 12.2.4.28

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.4.28.1

$- 27$ に

$5$ をかけます。

$V = π (\frac{162 - 135}{5})$

ステップ 12.2.4.28.2

$162$ から

$135$ を引きます。

$V = π (\frac{27}{5})$

ステップ 12.2.4.29

$π$ と

$\frac{27}{5}$ をまとめます。

$V = \frac{π \cdot 27}{5}$

ステップ 12.2.4.30

$27$ を

$π$ の左に移動させます。

$V = \frac{27 π}{5}$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$V = \frac{27 π}{5}$

10進法形式：

$V = 16.96460032 \dots$

ステップ 14

問題を入力

微分積分 例

微分積分例