微分積分例

$y = x^{2}$ , $y = x$

ステップ 1

立体の体積を求めるために、まず各部分の面積を定義し、その値域で積分します。各部分の面積は半径 $f (x)$ と $A = π r^{2}$ を持つ円の面積です。

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2}$ ならば $V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$

ステップ 2

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$V = x^{2} - x^{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$V = x^{2} - x^{4}$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$V = π (\int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

ステップ 4

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$V = π (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

ステップ 5

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

ステップ 6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{4} d x)$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{5} x^{5}$ です。

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1}))$

ステップ 8

答えを簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{5}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))$

ステップ 8.2

代入し簡約します。

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ステップ 8.2.1

$1$ および $0$ で $\frac{x^{3}}{3}$ の値を求めます。

$V = π ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))$

ステップ 8.2.2

$1$ および $0$ で $\frac{x^{5}}{5}$ の値を求めます。

$V = π (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

ステップ 8.2.3

簡約します。

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ステップ 8.2.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

ステップ 8.2.3.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{0}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

ステップ 8.2.3.3

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.3.3.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

ステップ 8.2.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.3.3.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

ステップ 8.2.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

ステップ 8.2.3.3.2.3

式を書き換えます。

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{0}{1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

ステップ 8.2.3.3.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$V = π (\frac{1}{3} - 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

ステップ 8.2.3.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$V = π (\frac{1}{3} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

ステップ 8.2.3.5

$\frac{1}{3}$ と $0$ をたし算します。

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

ステップ 8.2.3.6

1のすべての数の累乗は1です。

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

ステップ 8.2.3.7

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0}{5}))$

ステップ 8.2.3.8

$0$ と $5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.3.8.1

$5$ を $0$ で因数分解します。

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 (0)}{5}))$

ステップ 8.2.3.8.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.3.8.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

ステップ 8.2.3.8.2.2

共通因数を約分します。

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

ステップ 8.2.3.8.2.3

式を書き換えます。

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0}{1}))$

ステップ 8.2.3.8.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - 0))$

ステップ 8.2.3.9

$- 1$ に $0$ をかけます。

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} + 0))$

ステップ 8.2.3.10

$\frac{1}{5}$ と $0$ をたし算します。

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$

ステップ 8.2.3.11

$\frac{1}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$V = π (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5})$

ステップ 8.2.3.12

$- \frac{1}{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$V = π (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

ステップ 8.2.3.13

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $15$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 8.2.3.13.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$V = π (\frac{5}{3 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

ステップ 8.2.3.13.2

$3$ に $5$ をかけます。

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

ステップ 8.2.3.13.3

$\frac{1}{5}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{5 \cdot 3})$

ステップ 8.2.3.13.4

$5$ に $3$ をかけます。

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})$

ステップ 8.2.3.14

公分母の分子をまとめます。

$V = π (\frac{5 - 3}{15})$

ステップ 8.2.3.15

$5$ から $3$ を引きます。

$V = π (\frac{2}{15})$

ステップ 8.2.3.16

$π$ と $\frac{2}{15}$ をまとめます。

$V = \frac{π \cdot 2}{15}$

ステップ 8.2.3.17

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$V = \frac{2 π}{15}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$V = \frac{2 π}{15}$

10進法形式：

$V = 0.41887902 \dots$

ステップ 10

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微分積分 例

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