微分積分例

$y = 5 x + 5$ , $[- 1, 1]$

ステップ 1

指定した区間 $[a, b]$ における関数 $f$ の二乗平均平方根は、元の値の二乗の算術平均（平均）の平方根です。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

ステップ 2

実際の値を関数の二乗平均平方根の公式に代入します。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{1 + 1} \cdot (\int_{- 1}^{1} {(5 x + 5)}^{2} d x)}$

ステップ 3

積分を求めます。

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ステップ 3.1

$u = 5 x + 5$ とします。次に $d u = 5 d x$ すると、 $\frac{1}{5} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1.1

$u = 5 x + 5$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1.1

$5 x + 5$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [5 x + 5]$

ステップ 3.1.1.2

総和則では、 $5 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 3.1.1.3

$\frac{d}{d x} [5 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.1.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 3.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 3.1.1.3.3

$5$ に $1$ をかけます。

$5 + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 3.1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.1.1.4.1

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$5 + 0$

ステップ 3.1.1.4.2

$5$ と $0$ をたし算します。

$5$

ステップ 3.1.2

$u = 5 x + 5$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 5 \cdot - 1 + 5$

ステップ 3.1.3

簡約します。

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ステップ 3.1.3.1

$5$ に $- 1$ をかけます。

$u_{lower} = - 5 + 5$

ステップ 3.1.3.2

$- 5$ と $5$ をたし算します。

$u_{lower} = 0$

ステップ 3.1.4

$u = 5 x + 5$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 5 \cdot 1 + 5$

ステップ 3.1.5

簡約します。

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ステップ 3.1.5.1

$5$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = 5 + 5$

ステップ 3.1.5.2

$5$ と $5$ をたし算します。

$u_{upper} = 10$

ステップ 3.1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 10$

ステップ 3.1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{10} u^{2} \frac{1}{5} d u$

ステップ 3.2

$u^{2}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$\int_{0}^{10} \frac{u^{2}}{5} d u$

ステップ 3.3

$\frac{1}{5}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{5} \int_{0}^{10} u^{2} d u$

ステップ 3.4

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$\frac{1}{5} \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{10}$

ステップ 3.5

代入し簡約します。

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ステップ 3.5.1

$10$ および $0$ で $\frac{1}{3} u^{3}$ の値を求めます。

$\frac{1}{5} ((\frac{1}{3} \cdot 10^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

ステップ 3.5.2

簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$10$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1000 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

ステップ 3.5.2.2

$\frac{1}{3}$ と $1000$ をまとめます。

$\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

ステップ 3.5.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0)$

ステップ 3.5.2.4

$0$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} + 0 (\frac{1}{3}))$

ステップ 3.5.2.5

$0$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} + 0)$

ステップ 3.5.2.6

$\frac{1000}{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1000}{3}$

ステップ 3.5.2.7

$\frac{1}{5}$ に $\frac{1000}{3}$ をかけます。

$\frac{1000}{5 \cdot 3}$

ステップ 3.5.2.8

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{1000}{15}$

ステップ 3.5.2.9

$1000$ と $15$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.9.1

$5$ を $1000$ で因数分解します。

$\frac{5 (200)}{15}$

ステップ 3.5.2.9.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.9.2.1

$5$ を $15$ で因数分解します。

$\frac{5 \cdot 200}{5 \cdot 3}$

ステップ 3.5.2.9.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 \cdot 200}{5 \cdot 3}$

ステップ 3.5.2.9.2.3

式を書き換えます。

$\frac{200}{3}$

ステップ 4

二乗平均平方根の公式を簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{1 + 1}$ に $\frac{200}{3}$ をかけます。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{200}{(1 + 1) \cdot 3}}$

ステップ 4.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{200}{2 \cdot 3}}$

ステップ 4.3

今日数因数で約分することで式 $\frac{200}{2 \cdot 3}$ を約分します。

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ステップ 4.3.1

$2$ を $200$ で因数分解します。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100}{2 \cdot 3}}$

ステップ 4.3.2

$2$ を $2 \cdot 3$ で因数分解します。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100}{2 (3)}}$

ステップ 4.3.3

共通因数を約分します。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100}{2 \cdot 3}}$

ステップ 4.3.4

式を書き換えます。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{100}{3}}$

ステップ 4.4

$\sqrt{\frac{100}{3}}$ を $\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$f_{rms} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{3}}$

ステップ 4.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$100$ を $10^{2}$ に書き換えます。

$f_{rms} = \frac{\sqrt{10^{2}}}{\sqrt{3}}$

ステップ 4.5.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f_{rms} = \frac{10}{\sqrt{3}}$

ステップ 4.6

$\frac{10}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$f_{rms} = \frac{10}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 4.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 4.7.1

$\frac{10}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 4.7.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 4.7.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 4.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 4.7.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 4.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.7.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.7.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.7.6.4.1

共通因数を約分します。

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.7.6.4.2

式を書き換えます。

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 4.7.6.5

指数を求めます。

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

10進法形式：

$f_{rms} = 5.77350269 \dots$

ステップ 6

問題を入力

微分積分 例

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