微分積分例

$f (x) = 5 x - 3$ , $[0, 6]$

ステップ 1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 2

$f (x)$ は $[0, 6]$ で連続します。

$f (x)$ は連続します

ステップ 3

関数 $f$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 4

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} 5 x - 3 d x)$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} 5 x d x + \int_{0}^{6} - 3 d x)$

ステップ 6

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 \int_{0}^{6} x d x + \int_{0}^{6} - 3 d x)$

ステップ 7

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} - 3 d x)$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} - 3 d x)$

ステップ 9

定数の法則を当てはめます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{6}) + - 3 x]_{0}^{6})$

ステップ 10

代入し簡約します。

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ステップ 10.1

$6$ および $0$ で $\frac{x^{2}}{2}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + - 3 x]_{0}^{6})$

ステップ 10.2

$6$ および $0$ で $- 3 x$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 6 + 3 \cdot 0)$

ステップ 10.3

簡約します。

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ステップ 10.3.1

$6$ を $2$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 (\frac{36}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 6 + 3 \cdot 0)$

ステップ 10.3.2

$36$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.3.2.1

$2$ を $36$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 6 + 3 \cdot 0)$

ステップ 10.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.3.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 6 + 3 \cdot 0)$

ステップ 10.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 6 + 3 \cdot 0)$

ステップ 10.3.2.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 (\frac{18}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 6 + 3 \cdot 0)$

ステップ 10.3.2.2.4

$18$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 (18 - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 6 + 3 \cdot 0)$

ステップ 10.3.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 (18 - \frac{0}{2}) - 3 \cdot 6 + 3 \cdot 0)$

ステップ 10.3.4

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.3.4.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 (18 - \frac{2 (0)}{2}) - 3 \cdot 6 + 3 \cdot 0)$

ステップ 10.3.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.3.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 (18 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 6 + 3 \cdot 0)$

ステップ 10.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 (18 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 6 + 3 \cdot 0)$

ステップ 10.3.4.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 (18 - \frac{0}{1}) - 3 \cdot 6 + 3 \cdot 0)$

ステップ 10.3.4.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 (18 - 0) - 3 \cdot 6 + 3 \cdot 0)$

ステップ 10.3.5

$- 1$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 (18 + 0) - 3 \cdot 6 + 3 \cdot 0)$

ステップ 10.3.6

$18$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 \cdot 18 - 3 \cdot 6 + 3 \cdot 0)$

ステップ 10.3.7

$5$ に $18$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (90 - 3 \cdot 6 + 3 \cdot 0)$

ステップ 10.3.8

$- 3$ に $6$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (90 - 18 + 3 \cdot 0)$

ステップ 10.3.9

$3$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (90 - 18 + 0)$

ステップ 10.3.10

$- 18$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (90 - 18)$

ステップ 10.3.11

$90$ から $18$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (72)$

ステップ 11

分母を簡約します。

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ステップ 11.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{6 + 0} \cdot 72$

ステップ 11.2

$6$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 72$

ステップ 12

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.1

$6$ を $72$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 (12))$

ステップ 12.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 12)$

ステップ 12.3

式を書き換えます。

$A (x) = 12$

ステップ 13

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