微分積分例

$y = 3 x^{2} + 3 x$ , $(- 5, 1)$

ステップ 1

$y = 3 x^{2} + 3 x$ を関数で書きます。

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

$f (x)$ は $[- 5, 1]$ で連続します。

$f (x)$ は連続します

ステップ 4

関数 $f$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 5

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (\int_{- 5}^{1} 3 x^{2} + 3 x d x)$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (\int_{- 5}^{1} 3 x^{2} d x + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)$

ステップ 7

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 \int_{- 5}^{1} x^{2} d x + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)$

ステップ 8

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)$

ステップ 9

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)$

ステップ 10

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + 3 \int_{- 5}^{1} x d x)$

ステップ 11

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 5}^{1}))$

ステップ 12

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}))$

ステップ 12.2

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

$1$ および $- 5$ で $\frac{x^{3}}{3}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}))$

ステップ 12.2.2

$1$ および $- 5$ で $\frac{x^{2}}{2}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

ステップ 12.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

ステップ 12.2.3.2

$- 5$ を $3$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} - \frac{- 125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

ステップ 12.2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} + \frac{125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

ステップ 12.2.3.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{125}{3})) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

ステップ 12.2.3.5

$\frac{125}{3}$ に $1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} + \frac{125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

ステップ 12.2.3.6

公分母の分子をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1 + 125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

ステップ 12.2.3.7

$1$ と $125$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{126}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

ステップ 12.2.3.8

$126$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.3.8.1

$3$ を $126$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{3 \cdot 42}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

ステップ 12.2.3.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.3.8.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{3 \cdot 42}{3 (1)}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

ステップ 12.2.3.8.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{3 \cdot 42}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

ステップ 12.2.3.8.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{42}{1}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

ステップ 12.2.3.8.2.4

$42$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 \cdot 42 + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

ステップ 12.2.3.9

$3$ に $42$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

ステップ 12.2.3.10

1のすべての数の累乗は1です。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

ステップ 12.2.3.11

$- 5$ を $2$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{1}{2} - \frac{25}{2}))$

ステップ 12.2.3.12

公分母の分子をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{1 - 25}{2}))$

ステップ 12.2.3.13

$1$ から $25$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{- 24}{2}))$

ステップ 12.2.3.14

$- 24$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.3.14.1

$2$ を $- 24$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{2 \cdot - 12}{2}))$

ステップ 12.2.3.14.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.3.14.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{2 \cdot - 12}{2 (1)}))$

ステップ 12.2.3.14.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1}))$

ステップ 12.2.3.14.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{- 12}{1}))$

ステップ 12.2.3.14.2.4

$- 12$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 \cdot - 12)$

ステップ 12.2.3.15

$3$ に $- 12$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 - 36)$

ステップ 12.2.3.16

$126$ から $36$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (90)$

ステップ 13

$1$ と $5$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 90$

ステップ 14

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$6$ を $90$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 (15))$

ステップ 14.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 15)$

ステップ 14.3

式を書き換えます。

$A (x) = 15$

ステップ 15

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