微分積分例

$f (x) = x^{2} + 3 x + 34$ , $(- 3, 4)$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} + 3 x + 34$ の微分係数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{2} + 3 x + 34$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [34]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [34]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [34]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [34]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [34]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $1$ をかけます。

$2 x + 3 + \frac{d}{d x} [34]$

ステップ 1.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$34$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $34$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 3 + 0$

ステップ 1.1.3.2

$2 x + 3$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 2 x + 3$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 x + 3$ です。

$2 x + 3$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

$f' (x)$ は $[- 3, 4]$ で連続します。

$f' (x)$ は連続します

ステップ 4

関数 $f'$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 5

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\int_{- 3}^{4} 2 x + 3 d x)$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\int_{- 3}^{4} 2 x d x + \int_{- 3}^{4} 3 d x)$

ステップ 7

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 \int_{- 3}^{4} x d x + \int_{- 3}^{4} 3 d x)$

ステップ 8

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{4}) + \int_{- 3}^{4} 3 d x)$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{4}) + \int_{- 3}^{4} 3 d x)$

ステップ 10

定数の法則を当てはめます。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{4}) + 3 x]_{- 3}^{4})$

ステップ 11

代入し簡約します。

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ステップ 11.1

$4$ および $- 3$ で $\frac{x^{2}}{2}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 x]_{- 3}^{4})$

ステップ 11.2

$4$ および $- 3$ で $3 x$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

ステップ 11.3

簡約します。

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ステップ 11.3.1

$4$ を $2$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{16}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

ステップ 11.3.2

$16$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.2.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

ステップ 11.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

ステップ 11.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

ステップ 11.3.2.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{8}{1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

ステップ 11.3.2.2.4

$8$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (8 - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

ステップ 11.3.3

$- 3$ を $2$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (8 - \frac{9}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

ステップ 11.3.4

$8$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

ステップ 11.3.5

$8$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

ステップ 11.3.6

公分母の分子をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{8 \cdot 2 - 9}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

ステップ 11.3.7

分子を簡約します。

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ステップ 11.3.7.1

$8$ に $2$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{16 - 9}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

ステップ 11.3.7.2

$16$ から $9$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{7}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

ステップ 11.3.8

$2$ と $\frac{7}{2}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\frac{2 \cdot 7}{2} + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

ステップ 11.3.9

$2$ に $7$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\frac{14}{2} + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

ステップ 11.3.10

$14$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.10.1

$2$ を $14$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\frac{2 \cdot 7}{2} + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

ステップ 11.3.10.2

共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.10.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\frac{2 \cdot 7}{2 (1)} + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

ステップ 11.3.10.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 1} + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

ステップ 11.3.10.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\frac{7}{1} + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

ステップ 11.3.10.2.4

$7$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (7 + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

ステップ 11.3.11

$3$ に $4$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (7 + 12 - 3 \cdot - 3)$

ステップ 11.3.12

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (7 + 12 + 9)$

ステップ 11.3.13

$12$ と $9$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (7 + 21)$

ステップ 11.3.14

$7$ と $21$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (28)$

ステップ 12

$4$ と $3$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot 28$

ステップ 13

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.1

$7$ を $28$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot (7 (4))$

ステップ 13.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot (7 \cdot 4)$

ステップ 13.3

式を書き換えます。

$A (x) = 4$

ステップ 14

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