微分積分例

$f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ , $[0, 6]$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ の微分係数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{2} + 2 x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 2 + 0$

ステップ 1.1.3.2

$2 x + 2$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 2 x + 2$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 x + 2$ です。

$2 x + 2$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

$f' (x)$ は $[0, 6]$ で連続します。

$f' (x)$ は連続します

ステップ 4

関数 $f'$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 5

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} 2 x + 2 d x)$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} 2 x d x + \int_{0}^{6} 2 d x)$

ステップ 7

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 \int_{0}^{6} x d x + \int_{0}^{6} 2 d x)$

ステップ 8

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} 2 d x)$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} 2 d x)$

ステップ 10

定数の法則を当てはめます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{6}) + 2 x]_{0}^{6})$

ステップ 11

代入し簡約します。

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ステップ 11.1

$6$ および $0$ で $\frac{x^{2}}{2}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 2 x]_{0}^{6})$

ステップ 11.2

$6$ および $0$ で $2 x$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

ステップ 11.3

簡約します。

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ステップ 11.3.1

$6$ を $2$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{36}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

ステップ 11.3.2

$36$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.2.1

$2$ を $36$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

ステップ 11.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

ステップ 11.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

ステップ 11.3.2.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{18}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

ステップ 11.3.2.2.4

$18$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

ステップ 11.3.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{0}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

ステップ 11.3.4

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.4.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{2 (0)}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

ステップ 11.3.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

ステップ 11.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

ステップ 11.3.4.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{0}{1}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

ステップ 11.3.4.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - 0) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

ステップ 11.3.5

$- 1$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 + 0) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

ステップ 11.3.6

$18$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 \cdot 18 + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

ステップ 11.3.7

$2$ に $18$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

ステップ 11.3.8

$2$ に $6$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 12 - 2 \cdot 0)$

ステップ 11.3.9

$- 2$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 12 + 0)$

ステップ 11.3.10

$12$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 12)$

ステップ 11.3.11

$36$ と $12$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (48)$

ステップ 12

分母を簡約します。

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ステップ 12.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{6 + 0} \cdot 48$

ステップ 12.2

$6$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 48$

ステップ 13

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.1

$6$ を $48$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 (8))$

ステップ 13.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 8)$

ステップ 13.3

式を書き換えます。

$A (x) = 8$

ステップ 14

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