微分積分例

f (x) = 4 x - 2

$f (x) = 4 x - 2$ ,

(1, 3)

$(1, 3)$

ステップ 1

f (x) = 4 x - 2

$f (x) = 4 x - 2$ が連続関数か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

{x | x \in R}

${x | x \in ℝ}$

ステップ 1.2

f (x)

$f (x)$ は

[1, 3]

$[1, 3]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 2

f (x) = 4 x - 2

$f (x) = 4 x - 2$ が微分可能か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

総和則では、

4 x - 2

$4 x - 2$ の

x

$x$ に関する積分は

\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.1.1.2

\frac{d}{d x} [4 x]

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

4

$4$ は

x

$x$ に対して定数なので、

x

$x$ に対する

4 x

$4 x$ の微分係数は

4 \frac{d}{d x} [x]

$4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.1.1.2.2

n = 1

$n = 1$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.1.1.2.3

4

$4$ に

1

$1$ をかけます。

4 + \frac{d}{d x} [- 2]

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

4 + \frac{d}{d x} [- 2]

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.1.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.1.1.3.1

- 2

$- 2$ は

x

$x$ について定数なので、

x

$x$ について

- 2

$- 2$ の微分係数は

0

$0$ です。

4 + 0

$4 + 0$

ステップ 2.1.1.3.2

4

$4$ と

0

$0$ をたし算します。

$f' (x) = 4$

ステップ 2.1.2

$x$ に関する

$f (x)$ の一次導関数は

$4$ です。

$4$

ステップ 2.2

微分係数が

$[1, 3]$ 上で連続か求めます。

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ステップ 2.2.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 2.2.2

$f' (x)$ は

$[1, 3]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 2.3

微分係数が

$[1, 3]$ で連続なので、関数は

$[1, 3]$ で微分可能です。

関数は微分可能です。

ステップ 3

弧長を保証するためには、関数とその微分係数がともに閉区間

$[1, 3]$ 上で連続であることが必要です。

関数とその微分係数は閉区間

$[1, 3]$ 上で連続です。

ステップ 4

$f (x) = 4 x - 2$ の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

総和則では、

$4 x - 2$ の

$x$ に関する積分は

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$4$ は

$x$ に対して定数なので、

$x$ に対する

$4 x$ の微分係数は

$4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 4.2.2

$n = 1$ のとき、

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 4.2.3

$4$ に

$1$ をかけます。

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 4.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 2$ は

$x$ について定数なので、

$x$ について

$- 2$ の微分係数は

$0$ です。

$4 + 0$

ステップ 4.3.2

$4$ と

$0$ をたし算します。

$4$

ステップ 5

関数の弧の長さを求めるために公式

$L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ を利用してます。

$\int_{1}^{3} \sqrt{1 + {(4)}^{2}} d x$

ステップ 6

積分を求めます。

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ステップ 6.1

定数の法則を当てはめます。

$\sqrt{17} x]_{1}^{3}$

ステップ 6.2

代入し簡約します。

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ステップ 6.2.1

$3$ および

$1$ で

$\sqrt{17} x$ の値を求めます。

$(\sqrt{17} \cdot 3) - \sqrt{17} \cdot 1$

ステップ 6.2.2

簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$3$ を

$\sqrt{17}$ の左に移動させます。

$3 \cdot \sqrt{17} - \sqrt{17} \cdot 1$

ステップ 6.2.2.2

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$3 \sqrt{17} - \sqrt{17}$

ステップ 6.2.2.3

$3 \sqrt{17}$ から

$\sqrt{17}$ を引きます。

$2 \sqrt{17}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$2 \sqrt{17}$

10進法形式：

$8.24621125 \dots$

ステップ 8

問題を入力

微分積分 例

微分積分例