微分積分例

$f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ , $[0, 6]$

ステップ 1

$f$ が区間 $[a, b]$ で連続し、 $(a, b)$ で微分可能ならば、区間 $(a, b)$ 内に $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ であるような少なくとも1個の実数 $c$ が存在します。平均値の定理は、 $x = c$ における曲線の正切の傾きと、点 $(a, f (a))$ と点 $(b, f (b))$ を通る直線の傾きの関係を表しています。

$f (x)$ が $[a, b]$ で連続するならば

$f (x)$ が $(a, b)$ で微分可能なとき、

次に、少なくとも $[a, b]$ に1点 $c$ があります： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ です。

ステップ 2

$f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ が連続関数か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 2.2

$f (x)$ は $[0, 6]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 3

微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 3.1.1

微分します。

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ステップ 3.1.1.1

総和則では、 $x^{2} + 2 x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 3.1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 3.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 3.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 3.1.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 3.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.1.3.1

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 2 + 0$

ステップ 3.1.3.2

$2 x + 2$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 2 x + 2$

ステップ 3.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 x + 2$ です。

$2 x + 2$

ステップ 4

微分係数が $(0, 6)$ 上で連続か求めます。

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ステップ 4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4.2

$f' (x)$ は $(0, 6)$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 5

微分係数が $(0, 6)$ で連続なので、関数は $(0, 6)$ で微分可能です。

関数は微分可能です。

ステップ 6

$f (x)$ は平均値の定理の2つの条件を満たします。 $[0, 6]$ で連続し、 $(0, 6)$ で微分可能です。

$f (x)$ は $[0, 6]$ で連続し、 $(0, 6)$ で微分可能です。

ステップ 7

区間 $[0, 6]$ から $f (a)$ の値を求めます。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {(0)}^{2} + 2 (0) - 3$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 2 (0) - 3$

ステップ 7.2.1.2

$2$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 - 3$

ステップ 7.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 - 3$

ステップ 7.2.2.2

$0$ から $3$ を引きます。

$f (0) = - 3$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 3$ です。

$- 3$

ステップ 8

区間 $[0, 6]$ から $f (b)$ の値を求めます。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f (6) = {(6)}^{2} + 2 (6) - 3$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1

$6$ を $2$ 乗します。

$f (6) = 36 + 2 (6) - 3$

ステップ 8.2.1.2

$2$ に $6$ をかけます。

$f (6) = 36 + 12 - 3$

ステップ 8.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$36$ と $12$ をたし算します。

$f (6) = 48 - 3$

ステップ 8.2.2.2

$48$ から $3$ を引きます。

$f (6) = 45$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $45$ です。

$45$

ステップ 9

$x$ について $2 x + 2 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ を解きます。 $2 x + 2 = \frac{- (f (6) + f (0))}{- (6 + 0)}$ です。

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ステップ 9.1

$\frac{(45) - (- 3)}{(6) - (0)}$ を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$(45) - (- 3)$ と $(6) - (0)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.1.1

$6$ を $- 1 (- 6)$ に書き換えます。

$2 x + 2 = \frac{(45) - (- 3)}{- 1 (- 6) - (0)}$

ステップ 9.1.1.2

$- 1$ を $- 1 (- 6) - (0)$ で因数分解します。

$2 x + 2 = \frac{(45) - (- 3)}{- 1 (- 6 + 0)}$

ステップ 9.1.1.3

$3$ を $45$ で因数分解します。

$2 x + 2 = \frac{3 (15) - (- 3)}{- 1 (- 6 + 0)}$

ステップ 9.1.1.4

$3$ を $- (- 3)$ で因数分解します。

$2 x + 2 = \frac{3 (15) + 3 (- (- 1))}{- 1 (- 6 + 0)}$

ステップ 9.1.1.5

$3$ を $3 (15) + 3 (- (- 1))$ で因数分解します。

$2 x + 2 = \frac{3 (15 - (- 1))}{- 1 (- 6 + 0)}$

ステップ 9.1.1.6

共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.1.6.1

$3$ を $- 1 (- 6 + 0)$ で因数分解します。

$2 x + 2 = \frac{3 (15 - (- 1))}{3 (- 1 (- 2 + 0))}$

ステップ 9.1.1.6.2

共通因数を約分します。

$2 x + 2 = \frac{3 (15 - (- 1))}{3 (- 1 (- 2 + 0))}$

ステップ 9.1.1.6.3

式を書き換えます。

$2 x + 2 = \frac{15 - (- 1)}{- 1 (- 2 + 0)}$

ステップ 9.1.2

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 x + 2 = \frac{15 + 1}{- 1 (- 2 + 0)}$

ステップ 9.1.2.2

$15$ と $1$ をたし算します。

$2 x + 2 = \frac{16}{- 1 (- 2 + 0)}$

ステップ 9.1.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.3.1

$- 2$ と $0$ をたし算します。

$2 x + 2 = \frac{16}{- 1 \cdot - 2}$

ステップ 9.1.3.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$2 x + 2 = \frac{16}{2}$

ステップ 9.1.3.3

$16$ を $2$ で割ります。

$2 x + 2 = 8$

ステップ 9.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$2 x = 8 - 2$

ステップ 9.2.2

$8$ から $2$ を引きます。

$2 x = 6$

ステップ 9.3

$2 x = 6$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 9.3.1

$2 x = 6$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

ステップ 9.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 9.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

ステップ 9.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{6}{2}$

ステップ 9.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 9.3.3.1

$6$ を $2$ で割ります。

$x = 3$

ステップ 10

$x = 3$ において求められた接線があり、端点 $a = 0$ と $b = 6$ を通る線と平行です。

$x = 3$ における接線があり、端点 $a = 0$ と $b = 6$ を通る線と平行です。

ステップ 11

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