微分積分例

$f (x) = 3 x^{2} + 6 x - 5$ , $[- 5, 1]$

ステップ 1

$f$ が区間 $[a, b]$ で連続し、 $(a, b)$ で微分可能ならば、区間 $(a, b)$ 内に $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ であるような少なくとも1個の実数 $c$ が存在します。平均値の定理は、 $x = c$ における曲線の正切の傾きと、点 $(a, f (a))$ と点 $(b, f (b))$ を通る直線の傾きの関係を表しています。

$f (x)$ が $[a, b]$ で連続するならば

$f (x)$ が $(a, b)$ で微分可能なとき、

次に、少なくとも $[a, b]$ に1点 $c$ があります： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ です。

ステップ 2

$f (x) = 3 x^{2} + 6 x - 5$ が連続関数か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 2.2

$f (x)$ は $[- 5, 1]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 3

微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 3.1.1

総和則では、 $3 x^{2} + 6 x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 3.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 3.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 3.1.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 3.1.3

$\frac{d}{d x} [6 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 3.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 3.1.3.3

$6$ に $1$ をかけます。

$6 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 3.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.1.4.1

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$6 x + 6 + 0$

ステップ 3.1.4.2

$6 x + 6$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 6 x + 6$

ステップ 3.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $6 x + 6$ です。

$6 x + 6$

ステップ 4

微分係数が $(- 5, 1)$ 上で連続か求めます。

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ステップ 4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4.2

$f' (x)$ は $(- 5, 1)$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 5

微分係数が $(- 5, 1)$ で連続なので、関数は $(- 5, 1)$ で微分可能です。

関数は微分可能です。

ステップ 6

$f (x)$ は平均値の定理の2つの条件を満たします。 $[- 5, 1]$ で連続し、 $(- 5, 1)$ で微分可能です。

$f (x)$ は $[- 5, 1]$ で連続し、 $(- 5, 1)$ で微分可能です。

ステップ 7

区間 $[- 5, 1]$ から $f (a)$ の値を求めます。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 5$ で置換えます。

$f (- 5) = 3 {(- 5)}^{2} + 6 (- 5) - 5$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$- 5$ を $2$ 乗します。

$f (- 5) = 3 \cdot 25 + 6 (- 5) - 5$

ステップ 7.2.1.2

$3$ に $25$ をかけます。

$f (- 5) = 75 + 6 (- 5) - 5$

ステップ 7.2.1.3

$6$ に $- 5$ をかけます。

$f (- 5) = 75 - 30 - 5$

ステップ 7.2.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$75$ から $30$ を引きます。

$f (- 5) = 45 - 5$

ステップ 7.2.2.2

$45$ から $5$ を引きます。

$f (- 5) = 40$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $40$ です。

$40$

ステップ 8

区間 $[- 5, 1]$ から $f (b)$ の値を求めます。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = 3 {(1)}^{2} + 6 (1) - 5$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 3 \cdot 1 + 6 (1) - 5$

ステップ 8.2.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 3 + 6 (1) - 5$

ステップ 8.2.1.3

$6$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 3 + 6 - 5$

ステップ 8.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$3$ と $6$ をたし算します。

$f (1) = 9 - 5$

ステップ 8.2.2.2

$9$ から $5$ を引きます。

$f (1) = 4$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $4$ です。

$4$

ステップ 9

$x$ について $6 x + 6 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ を解きます。 $6 x + 6 = \frac{- (f (1) + f (- 5))}{- (1 - 5)}$ です。

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ステップ 9.1

$\frac{(4) - (40)}{(1) - (- 5)}$ を簡約します。

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ステップ 9.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.1.1

$- 1$ に $40$ をかけます。

$6 x + 6 = \frac{4 - 40}{1 - (- 5)}$

ステップ 9.1.1.2

$4$ から $40$ を引きます。

$6 x + 6 = \frac{- 36}{1 - (- 5)}$

ステップ 9.1.2

分母を簡約します。

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ステップ 9.1.2.1

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$6 x + 6 = \frac{- 36}{1 + 5}$

ステップ 9.1.2.2

$1$ と $5$ をたし算します。

$6 x + 6 = \frac{- 36}{6}$

ステップ 9.1.3

$- 36$ を $6$ で割ります。

$6 x + 6 = - 6$

ステップ 9.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.2.1

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$6 x = - 6 - 6$

ステップ 9.2.2

$- 6$ から $6$ を引きます。

$6 x = - 12$

ステップ 9.3

$6 x = - 12$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 9.3.1

$6 x = - 12$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 12}{6}$

ステップ 9.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 9.3.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 12}{6}$

ステップ 9.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 12}{6}$

ステップ 9.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 9.3.3.1

$- 12$ を $6$ で割ります。

$x = - 2$

ステップ 10

$x = - 2$ において求められた接線があり、端点 $a = - 5$ と $b = 1$ を通る線と平行です。

$x = - 2$ における接線があり、端点 $a = - 5$ と $b = 1$ を通る線と平行です。

ステップ 11

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