微分積分例

f (x) = 2 x^{4} - 2 x^{3}

$f (x) = 2 x^{4} - 2 x^{3}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、

2 x^{4} - 2 x^{3}

$2 x^{4} - 2 x^{3}$ の

x

$x$ に関する積分は

\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ です。

\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

ステップ 1.2

\frac{d}{d x} [2 x^{4}]

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

2

$2$ は

x

$x$ に対して定数なので、

x

$x$ に対する

2 x^{4}

$2 x^{4}$ の微分係数は

2 \frac{d}{d x} [x^{4}]

$2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]

$2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

ステップ 1.2.2

n = 4

$n = 4$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]

$2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

ステップ 1.2.3

4

$4$ に

2

$2$ をかけます。

8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]

$8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]

$8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

ステップ 1.3

\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

- 2

$- 2$ は

x

$x$ に対して定数なので、

x

$x$ に対する

- 2 x^{3}

$- 2 x^{3}$ の微分係数は

- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

8 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]

$8 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.3.2

n = 3

$n = 3$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

8 x^{3} - 2 (3 x^{2})

$8 x^{3} - 2 (3 x^{2})$

ステップ 1.3.3

3

$3$ に

- 2

$- 2$ をかけます。

8 x^{3} - 6 x^{2}

$8 x^{3} - 6 x^{2}$

8 x^{3} - 6 x^{2}

$8 x^{3} - 6 x^{2}$

8 x^{3} - 6 x^{2}

$8 x^{3} - 6 x^{2}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、

8 x^{3} - 6 x^{2}

$8 x^{3} - 6 x^{2}$ の

x

$x$ に関する積分は

\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ です。

f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

ステップ 2.2

\frac{d}{d x} [8 x^{3}]

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

8

$8$ は

x

$x$ に対して定数なので、

x

$x$ に対する

8 x^{3}

$8 x^{3}$ の微分係数は

8 \frac{d}{d x} [x^{3}]

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

ステップ 2.2.2

n = 3

$n = 3$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

f'' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})

$f'' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

ステップ 2.2.3

3

$3$ に

8

$8$ をかけます。

f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})

$f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})

$f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

ステップ 2.3

\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

- 6

$- 6$ は

x

$x$ に対して定数なので、

x

$x$ に対する

- 6 x^{2}

$- 6 x^{2}$ の微分係数は

- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

f'' (x) = 24 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2}

$f'' (x) = 24 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2}$

ステップ 2.3.2

n = 2

$n = 2$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

f'' (x) = 24 x^{2} - 6 (2 x)

$f'' (x) = 24 x^{2} - 6 (2 x)$

ステップ 2.3.3

2

$2$ に

- 6

$- 6$ をかけます。

f'' (x) = 24 x^{2} - 12 x

$f'' (x) = 24 x^{2} - 12 x$

f'' (x) = 24 x^{2} - 12 x

$f'' (x) = 24 x^{2} - 12 x$

f'' (x) = 24 x^{2} - 12 x

$f'' (x) = 24 x^{2} - 12 x$

ステップ 3

微分係数を

0

$0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

8 x^{3} - 6 x^{2} = 0

$8 x^{3} - 6 x^{2} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、

2 x^{4} - 2 x^{3}

$2 x^{4} - 2 x^{3}$ の

x

$x$ に関する積分は

\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ です。

f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3})

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3})$

ステップ 4.1.2

\frac{d}{d x} [2 x^{4}]

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

2

$2$ は

x

$x$ に対して定数なので、

x

$x$ に対する

2 x^{4}

$2 x^{4}$ の微分係数は

2 \frac{d}{d x} [x^{4}]

$2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3})

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3})$

ステップ 4.1.2.2

n = 4

$n = 4$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

f' (x) = 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3})

$f' (x) = 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3})$

ステップ 4.1.2.3

4

$4$ に

2

$2$ をかけます。

f' (x) = 8 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3})

$f' (x) = 8 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3})$

f' (x) = 8 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3})

$f' (x) = 8 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3})$

ステップ 4.1.3

\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

- 2

$- 2$ は

x

$x$ に対して定数なので、

x

$x$ に対する

- 2 x^{3}

$- 2 x^{3}$ の微分係数は

- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

f' (x) = 8 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{3}

$f' (x) = 8 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{3}$

ステップ 4.1.3.2

n = 3

$n = 3$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

f' (x) = 8 x^{3} - 2 (3 x^{2})

$f' (x) = 8 x^{3} - 2 (3 x^{2})$

ステップ 4.1.3.3

3

$3$ に

- 2

$- 2$ をかけます。

f' (x) = 8 x^{3} - 6 x^{2}

$f' (x) = 8 x^{3} - 6 x^{2}$

f' (x) = 8 x^{3} - 6 x^{2}

$f' (x) = 8 x^{3} - 6 x^{2}$

f' (x) = 8 x^{3} - 6 x^{2}

$f' (x) = 8 x^{3} - 6 x^{2}$

ステップ 4.2

x

$x$ に関する

f (x)

$f (x)$ の一次導関数は

8 x^{3} - 6 x^{2}

$8 x^{3} - 6 x^{2}$ です。

8 x^{3} - 6 x^{2}

$8 x^{3} - 6 x^{2}$

8 x^{3} - 6 x^{2}

$8 x^{3} - 6 x^{2}$

ステップ 5

一次導関数を

0

$0$ と等しくし、次に方程式

8 x^{3} - 6 x^{2} = 0

$8 x^{3} - 6 x^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を

$0$ に等しくします。

$8 x^{3} - 6 x^{2} = 0$

ステップ 5.2

$2 x^{2}$ を

$8 x^{3} - 6 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$2 x^{2}$ を

$8 x^{3}$ で因数分解します。

$2 x^{2} (4 x) - 6 x^{2} = 0$

ステップ 5.2.2

$2 x^{2}$ を

$- 6 x^{2}$ で因数分解します。

$2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} (- 3) = 0$

ステップ 5.2.3

$2 x^{2}$ を

$2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} (- 3)$ で因数分解します。

$2 x^{2} (4 x - 3) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が

$0$ と等しいならば、式全体は

$0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$4 x - 3 = 0$

ステップ 5.4

$x^{2}$ を

$0$ に等しくし、

$x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$x^{2}$ が

$0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 5.4.2

$x$ について

$x^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 5.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.1

$0$ を

$0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 5.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 5.4.2.2.3

プラスマイナス

$0$ は

$0$ です。

$x = 0$

ステップ 5.5

$4 x - 3$ を

$0$ に等しくし、

$x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$4 x - 3$ が

$0$ に等しいとします。

$4 x - 3 = 0$

ステップ 5.5.2

$x$ について

$4 x - 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

方程式の両辺に

$3$ を足します。

$4 x = 3$

ステップ 5.5.2.2

$4 x = 3$ の各項を

$4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.1

$4 x = 3$ の各項を

$4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

ステップ 5.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

ステップ 5.5.2.2.2.1.2

$x$ を

$1$ で割ります。

$x = \frac{3}{4}$

ステップ 5.6

最終解は

$2 x^{2} (4 x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{3}{4}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, \frac{3}{4}$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$24 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、

$0$ を得ます。

$24 \cdot 0 - 12 \cdot 0$

ステップ 9.1.2

$24$ に

$0$ をかけます。

$0 - 12 \cdot 0$

ステップ 9.1.3

$- 12$ に

$0$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 9.2

$0$ と

$0$ をたし算します。

$0$

ステップ 10

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

一次導関数

$0$ または未定義になる

$x$ 値の周囲で、

$(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{3}{4}) \cup (\frac{3}{4}, \infty)$

ステップ 10.2

一次導関数

$8 x^{3} - 6 x^{2}$ の区間

$(- \infty, 0)$ から

$- 2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

式の変数

$x$ を

$- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = 8 {(- 2)}^{3} - 6 {(- 2)}^{2}$

ステップ 10.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1.1

$- 2$ を

$3$ 乗します。

$f' (- 2) = 8 \cdot - 8 - 6 {(- 2)}^{2}$

ステップ 10.2.2.1.2

$8$ に

$- 8$ をかけます。

$f' (- 2) = - 64 - 6 {(- 2)}^{2}$

ステップ 10.2.2.1.3

$- 2$ を

$2$ 乗します。

$f' (- 2) = - 64 - 6 \cdot 4$

ステップ 10.2.2.1.4

$- 6$ に

$4$ をかけます。

$f' (- 2) = - 64 - 24$

ステップ 10.2.2.2

$- 64$ から

$24$ を引きます。

$f' (- 2) = - 88$

ステップ 10.2.2.3

最終的な答えは

$- 88$ です。

$- 88$

ステップ 10.3

一次導関数

$8 x^{3} - 6 x^{2}$ の区間

$(0, \frac{3}{4})$ から

$0.38$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

式の変数

$x$ を

$0.38$ で置換えます。

$f' (0.38) = 8 {(0.38)}^{3} - 6 {(0.38)}^{2}$

ステップ 10.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1.1

$0.38$ を

$3$ 乗します。

$f' (0.38) = 8 \cdot 0.054872 - 6 {(0.38)}^{2}$

ステップ 10.3.2.1.2

$8$ に

$0.054872$ をかけます。

$f' (0.38) = 0.438976 - 6 {(0.38)}^{2}$

ステップ 10.3.2.1.3

$0.38$ を

$2$ 乗します。

$f' (0.38) = 0.438976 - 6 \cdot 0.1444$

ステップ 10.3.2.1.4

$- 6$ に

$0.1444$ をかけます。

$f' (0.38) = 0.438976 - 0.8664$

ステップ 10.3.2.2

$0.438976$ から

$0.8664$ を引きます。

$f' (0.38) = - 0.427424$

ステップ 10.3.2.3

最終的な答えは

$- 0.427424$ です。

$- 0.427424$

ステップ 10.4

一次導関数

$8 x^{3} - 6 x^{2}$ の区間

$(\frac{3}{4}, \infty)$ から

$3$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

式の変数

$x$ を

$3$ で置換えます。

$f' (3) = 8 {(3)}^{3} - 6 {(3)}^{2}$

ステップ 10.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1.1

$3$ を

$3$ 乗します。

$f' (3) = 8 \cdot 27 - 6 {(3)}^{2}$

ステップ 10.4.2.1.2

$8$ に

$27$ をかけます。

$f' (3) = 216 - 6 {(3)}^{2}$

ステップ 10.4.2.1.3

$3$ を

$2$ 乗します。

$f' (3) = 216 - 6 \cdot 9$

ステップ 10.4.2.1.4

$- 6$ に

$9$ をかけます。

$f' (3) = 216 - 54$

ステップ 10.4.2.2

$216$ から

$54$ を引きます。

$f' (3) = 162$

ステップ 10.4.2.3

最終的な答えは

$162$ です。

$162$

ステップ 10.5

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。

極大値または極小値ではありません

ステップ 10.6

$x = \frac{3}{4}$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、

$x = \frac{3}{4}$ は極小値です。

$x = \frac{3}{4}$ は極小値です

ステップ 11

問題を入力

微分積分 例

微分積分例