微分積分例

$f (x) = x^{5} - 4$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{5} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.3

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$5 x^{4} + 0$

ステップ 1.1.4

$5 x^{4}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 5 x^{4}$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{4}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (4 x^{3})$

ステップ 1.2.3

$4$ に $5$ をかけます。

$f'' (x) = 20 x^{3}$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $20 x^{3}$ です。

$20 x^{3}$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $20 x^{3} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$20 x^{3} = 0$

ステップ 2.2

$20 x^{3} = 0$ の各項を $20$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.1

$20 x^{3} = 0$ の各項を $20$ で割ります。

$\frac{20 x^{3}}{20} = \frac{0}{20}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$20$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{20 x^{3}}{20} = \frac{0}{20}$

ステップ 2.2.2.1.2

$x^{3}$ を $1$ で割ります。

$x^{3} = \frac{0}{20}$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$0$ を $20$ で割ります。

$x^{3} = 0$

ステップ 2.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 2.4

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 2.4.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 3.1

$0$ を $f (x) = x^{5} - 4$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {(0)}^{5} - 4$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 4$

ステップ 3.1.2.2

$0$ から $4$ を引きます。

$f (0) = - 4$

ステップ 3.1.2.3

最終的な答えは $- 4$ です。

$- 4$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{5} - 4$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, - 4)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, - 4)$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 0.1$ で置換えます。

$f'' (- 0.1) = 20 {(- 0.1)}^{3}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- 0.1$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 0.1) = 20 \cdot - 0.001$

ステップ 5.2.2

$20$ に $- 0.001$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = - 0.02$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 0.02$ です。

$- 0.02$

ステップ 5.3

$- 0.1$ で二次導関数は $- 0.02$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, 0)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, 0)$ で減少

ステップ 6

区間 $(0, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0.1$ で置換えます。

$f'' (0.1) = 20 {(0.1)}^{3}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$0.1$ を $3$ 乗します。

$f'' (0.1) = 20 \cdot 0.001$

ステップ 6.2.2

$20$ に $0.001$ をかけます。

$f'' (0.1) = 0.02$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $0.02$ です。

$0.02$

ステップ 6.3

$0.1$ で二次導関数は $0.02$ です。これは正の値なので、 $(0, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(0, \infty)$ で増加

ステップ 7

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(0, - 4)$ です。

$(0, - 4)$

ステップ 8

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