微分積分例

f (x) = x^{5} - 8

$f (x) = x^{5} - 8$

ステップ 1

Find the

x

$x$ values where the second derivative is equal to

0

$0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、

x^{5} - 8

$x^{5} - 8$ の

x

$x$ に関する積分は

\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8]

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8]

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 1.1.1.2

n = 5

$n = 5$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 8]

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 1.1.1.3

- 8

$- 8$ は

x

$x$ について定数なので、

x

$x$ について

- 8

$- 8$ の微分係数は

0

$0$ です。

5 x^{4} + 0

$5 x^{4} + 0$

ステップ 1.1.1.4

5 x^{4}

$5 x^{4}$ と

0

$0$ をたし算します。

f' (x) = 5 x^{4}

$f' (x) = 5 x^{4}$

f' (x) = 5 x^{4}

$f' (x) = 5 x^{4}$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

5

$5$ は

x

$x$ に対して定数なので、

x

$x$ に対する

5 x^{4}

$5 x^{4}$ の微分係数は

5 \frac{d}{d x} [x^{4}]

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

5 \frac{d}{d x} [x^{4}]

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.1.2.2

n = 4

$n = 4$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

5 (4 x^{3})

$5 (4 x^{3})$

ステップ 1.1.2.3

4

$4$ に

5

$5$ をかけます。

f'' (x) = 20 x^{3}

$f'' (x) = 20 x^{3}$

f'' (x) = 20 x^{3}

$f'' (x) = 20 x^{3}$

ステップ 1.1.3

x

$x$ に関する

f (x)

$f (x)$ の二次導関数は

20 x^{3}

$20 x^{3}$ です。

20 x^{3}

$20 x^{3}$

20 x^{3}

$20 x^{3}$

ステップ 1.2

二次導関数を

0

$0$ と等しくし、次に方程式

20 x^{3} = 0

$20 x^{3} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を

0

$0$ に等しくします。

20 x^{3} = 0

$20 x^{3} = 0$

ステップ 1.2.2

20 x^{3} = 0

$20 x^{3} = 0$ の各項を

20

$20$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

20 x^{3} = 0

$20 x^{3} = 0$ の各項を

20

$20$ で割ります。

\frac{20 x^{3}}{20} = \frac{0}{20}

$\frac{20 x^{3}}{20} = \frac{0}{20}$

ステップ 1.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.2.1

20

$20$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{20 x^{3}}{20} = \frac{0}{20}$

ステップ 1.2.2.2.1.2

$x^{3}$ を

$1$ で割ります。

$x^{3} = \frac{0}{20}$

ステップ 1.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.3.1

$0$ を

$20$ で割ります。

$x^{3} = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 1.2.4

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

$0$ を

$0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 1.2.4.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が0になる

$x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 4

区間

$(- \infty, 0)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数

$x$ を

$- 2$ で置換えます。

$f'' (- 2) = 20 {(- 2)}^{3}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 2$ を

$3$ 乗します。

$f'' (- 2) = 20 \cdot - 8$

ステップ 4.2.2

$20$ に

$- 8$ をかけます。

$f'' (- 2) = - 160$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは

$- 160$ です。

$- 160$

ステップ 4.3

$f'' (- 2)$ が負なので、区間

$(- \infty, 0)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので

$(- \infty, 0)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が負なので

$(- \infty, 0)$ で下に凹します。

ステップ 5

区間

$(0, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数

$x$ を

$2$ で置換えます。

$f'' (2) = 20 {(2)}^{3}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2$ を

$3$ 乗します。

$f'' (2) = 20 \cdot 8$

ステップ 5.2.2

$20$ に

$8$ をかけます。

$f'' (2) = 160$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは

$160$ です。

$160$

ステップ 5.3

$f'' (2)$ が正なので、区間

$(0, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので

$(0, \infty)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が正なので

$(0, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 6

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので

$(- \infty, 0)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので

$(0, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 7

問題を入力

微分積分 例

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