微分積分例

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 4 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

ステップ 1.1.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{3}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3}$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

ステップ 1.1.1.2.3

$3$ に $- 4$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $4 x^{3} - 12 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

ステップ 1.1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

ステップ 1.1.2.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

ステップ 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.3.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x^{2}$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

ステップ 1.1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 (2 x)$

ステップ 1.1.2.3.3

$2$ に $- 12$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $12 x^{2} - 24 x$ です。

$12 x^{2} - 24 x$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{2} - 24 x = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{2} - 24 x = 0$

ステップ 1.2.2

$12 x$ を $12 x^{2} - 24 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$12 x$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$12 x (x) - 24 x = 0$

ステップ 1.2.2.2

$12 x$ を $- 24 x$ で因数分解します。

$12 x (x) + 12 x (- 2) = 0$

ステップ 1.2.2.3

$12 x$ を $12 x (x) + 12 x (- 2)$ で因数分解します。

$12 x (x - 2) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 1.2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 1.2.5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 1.2.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 1.2.6

最終解は $12 x (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, 0)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f'' (- 2) = 12 {(- 2)}^{2} - 24 \cdot - 2$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 2) = 12 \cdot 4 - 24 \cdot - 2$

ステップ 4.2.1.2

$12$ に $4$ をかけます。

$f'' (- 2) = 48 - 24 \cdot - 2$

ステップ 4.2.1.3

$- 24$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (- 2) = 48 + 48$

ステップ 4.2.2

$48$ と $48$ をたし算します。

$f'' (- 2) = 96$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $96$ です。

$96$

ステップ 4.3

$f'' (- 2)$ が正なので、区間 $(- \infty, 0)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, 0)$ で上に凹します。

ステップ 5

区間 $(0, 2)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f'' (1) = 12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f'' (1) = 12 \cdot 1 - 24 \cdot 1$

ステップ 5.2.1.2

$12$ に $1$ をかけます。

$f'' (1) = 12 - 24 \cdot 1$

ステップ 5.2.1.3

$- 24$ に $1$ をかけます。

$f'' (1) = 12 - 24$

ステップ 5.2.2

$12$ から $24$ を引きます。

$f'' (1) = - 12$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 12$ です。

$- 12$

ステップ 5.3

$f'' (1)$ が負なので、区間 $(0, 2)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(0, 2)$ で下に凹します。

ステップ 6

区間 $(2, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f'' (4) = 12 {(4)}^{2} - 24 \cdot 4$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f'' (4) = 12 \cdot 16 - 24 \cdot 4$

ステップ 6.2.1.2

$12$ に $16$ をかけます。

$f'' (4) = 192 - 24 \cdot 4$

ステップ 6.2.1.3

$- 24$ に $4$ をかけます。

$f'' (4) = 192 - 96$

ステップ 6.2.2

$192$ から $96$ を引きます。

$f'' (4) = 96$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $96$ です。

$96$

ステップ 6.3

$f'' (4)$ が正なので、区間 $(2, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(2, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 7

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, 0)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(0, 2)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(2, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 8

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