微分積分例

$f (x) = - x^{5}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{5}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (5 x^{4})$

ステップ 1.1.1.3

$5$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = - 5 x^{4}$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{4}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 5 (4 x^{3})$

ステップ 1.1.2.3

$4$ に $- 5$ をかけます。

$f'' (x) = - 20 x^{3}$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 20 x^{3}$ です。

$- 20 x^{3}$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 20 x^{3} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- 20 x^{3} = 0$

ステップ 1.2.2

$- 20 x^{3} = 0$ の各項を $- 20$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$- 20 x^{3} = 0$ の各項を $- 20$ で割ります。

$\frac{- 20 x^{3}}{- 20} = \frac{0}{- 20}$

ステップ 1.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.2.1

$- 20$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 20 x^{3}}{- 20} = \frac{0}{- 20}$

ステップ 1.2.2.2.1.2

$x^{3}$ を $1$ で割ります。

$x^{3} = \frac{0}{- 20}$

ステップ 1.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.3.1

$0$ を $- 20$ で割ります。

$x^{3} = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 1.2.4

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 1.2.4.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, 0)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f'' (- 2) = - 20 {(- 2)}^{3}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 2) = - 20 \cdot - 8$

ステップ 4.2.2

$- 20$ に $- 8$ をかけます。

$f'' (- 2) = 160$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $160$ です。

$160$

ステップ 4.3

$f'' (- 2)$ が正なので、区間 $(- \infty, 0)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, 0)$ で上に凹します。

ステップ 5

区間 $(0, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f'' (2) = - 20 {(2)}^{3}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2$ を $3$ 乗します。

$f'' (2) = - 20 \cdot 8$

ステップ 5.2.2

$- 20$ に $8$ をかけます。

$f'' (2) = - 160$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 160$ です。

$- 160$

ステップ 5.3

$f'' (2)$ が負なので、区間 $(0, \infty)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(0, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 6

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, 0)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(0, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 7

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