微分積分例

$y = 3 x^{3} + x + 3$ , $(1, 7)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = 7$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $3 x^{3} + x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{3}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2.3

$3$ に $3$ をかけます。

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.3.2

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$9 x^{2} + 1 + 0$

ステップ 1.3.3

$9 x^{2} + 1$ と $0$ をたし算します。

$9 x^{2} + 1$

ステップ 1.4

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$9 {(1)}^{2} + 1$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$9 \cdot 1 + 1$

ステップ 1.5.1.2

$9$ に $1$ をかけます。

$9 + 1$

ステップ 1.5.2

$9$ と $1$ をたし算します。

$10$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $10$ と与えられた点 $(1, 7)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (7) = 10 \cdot (x - (1))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 7 = 10 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$10 \cdot (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 7 = 0 + 0 + 10 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 7 = 10 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 7 = 10 x + 10 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.4

$10$ に $- 1$ をかけます。

$y - 7 = 10 x - 10$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $7$ を足します。

$y = 10 x - 10 + 7$

ステップ 2.3.2.2

$- 10$ と $7$ をたし算します。

$y = 10 x - 3$

ステップ 3

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