微分積分例

$y = 3 x^{2} + 3 x$ , $(1, 6)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = 6$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $3 x^{2} + 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x + 3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x + 3 \cdot 1$

ステップ 1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$6 x + 3$

ステップ 1.4

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$6 (1) + 3$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$6$ に $1$ をかけます。

$6 + 3$

ステップ 1.5.2

$6$ と $3$ をたし算します。

$9$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $9$ と与えられた点 $(1, 6)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (6) = 9 \cdot (x - (1))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 6 = 9 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$9 \cdot (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 6 = 0 + 0 + 9 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 6 = 9 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 6 = 9 x + 9 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.4

$9$ に $- 1$ をかけます。

$y - 6 = 9 x - 9$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $6$ を足します。

$y = 9 x - 9 + 6$

ステップ 2.3.2.2

$- 9$ と $6$ をたし算します。

$y = 9 x - 3$

ステップ 3

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