微分積分例

f (x) = x^{2} + 2 x + 1

$f (x) = x^{2} + 2 x + 1$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、

x^{2} + 2 x + 1

$x^{2} + 2 x + 1$ の

x

$x$ に関する積分は

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.1.2

n = 2

$n = 2$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.2

\frac{d}{d x} [2 x]

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

2

$2$ は

x

$x$ に対して定数なので、

x

$x$ に対する

2 x

$2 x$ の微分係数は

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.2.2

n = 1

$n = 1$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.2.3

2

$2$ に

1

$1$ をかけます。

2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]$

2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1

1

$1$ は

x

$x$ について定数なので、

x

$x$ について

1

$1$ の微分係数は

0

$0$ です。

2 x + 2 + 0

$2 x + 2 + 0$

ステップ 1.1.3.2

2 x + 2

$2 x + 2$ と

0

$0$ をたし算します。

$f' (x) = 2 x + 2$

ステップ 1.2

$x$ に関する

$f (x)$ の一次導関数は

$2 x + 2$ です。

$2 x + 2$

ステップ 2

一次導関数を

$0$ と等しくし、次に方程式

$2 x + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を

$0$ に等しくします。

$2 x + 2 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から

$2$ を引きます。

$2 x = - 2$

ステップ 2.3

$2 x = - 2$ の各項を

$2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$2 x = - 2$ の各項を

$2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2}{2}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2}{2}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x$ を

$1$ で割ります。

$x = \frac{- 2}{2}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$- 2$ を

$2$ で割ります。

$x = - 1$

ステップ 3

微分係数が

$0$ に等しくなるような値は

$- 1$ です。

$- 1$

ステップ 4

微分係数

$f' (x) = 2 x + 2$ を

$0$ または未定義にする点を求めた後、

$f (x) = x^{2} + 2 x + 1$ が増加・減少している場所を確認する間隔は

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$ です。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

ステップ 5

区間

$(- \infty, - 1)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数

$x$ を

$- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = 2 (- 2) + 2$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2$ に

$- 2$ をかけます。

$f' (- 2) = - 4 + 2$

ステップ 5.2.2

$- 4$ と

$2$ をたし算します。

$f' (- 2) = - 2$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは

$- 2$ です。

$- 2$

ステップ 5.3

$x = - 2$ で微分係数は

$- 2$ です。これは負の値なので、関数は

$(- \infty, - 1)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので

$(- \infty, - 1)$ で減少

$f' (x) < 0$ なので

$(- \infty, - 1)$ で減少

ステップ 6

区間

$(- 1, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数

$x$ を

$0$ で置換えます。

$f' (0) = 2 (0) + 2$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$2$ に

$0$ をかけます。

$f' (0) = 0 + 2$

ステップ 6.2.2

$0$ と

$2$ をたし算します。

$f' (0) = 2$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは

$2$ です。

$2$

ステップ 6.3

$x = 0$ で微分係数は

$2$ です。これは正の値なので、関数は

$(- 1, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので

$(- 1, \infty)$ で増加

$f' (x) > 0$ なので

$(- 1, \infty)$ で増加

ステップ 7

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- 1, \infty)$ で増加

$(- \infty, - 1)$ で減少

ステップ 8

問題を入力

微分積分 例

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