微分積分例

$f (x) = x^{4} - 12 x^{2} + 36$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 12 x^{2} + 36$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x^{2}$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [36]$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $- 12$ をかけます。

$4 x^{3} - 24 x + \frac{d}{d x} [36]$

ステップ 1.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$36$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $36$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} - 24 x + 0$

ステップ 1.1.3.2

$4 x^{3} - 24 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} - 24 x$ です。

$4 x^{3} - 24 x$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - 24 x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} - 24 x = 0$

ステップ 2.2

$4 x$ を $4 x^{3} - 24 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$4 x$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) - 24 x = 0$

ステップ 2.2.2

$4 x$ を $- 24 x$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 6) = 0$

ステップ 2.2.3

$4 x$ を $4 x (x^{2}) + 4 x (- 6)$ で因数分解します。

$4 x (x^{2} - 6) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x^{2} - 6 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x^{2} - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x^{2} - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 6 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $x^{2} - 6 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x^{2} = 6$

ステップ 2.5.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{6}$

ステップ 2.5.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.5.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{6}$

ステップ 2.5.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{6}$

ステップ 2.5.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

ステップ 2.6

最終解は $4 x (x^{2} - 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$ です。

$0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6}, 0) \cup (0, \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - \sqrt{6})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 3.4494898$ で置換えます。

$f' (- 3.4494898) = 4 {(- 3.4494898)}^{3} - 24 \cdot - 3.4494898$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 3.4494898$ を $3$ 乗します。

$f' (- 3.4494898) = 4 \cdot - 41.04540972 - 24 \cdot - 3.4494898$

ステップ 5.2.1.2

$4$ に $- 41.04540972$ をかけます。

$f' (- 3.4494898) = - 164.18163891 - 24 \cdot - 3.4494898$

ステップ 5.2.1.3

$- 24$ に $- 3.4494898$ をかけます。

$f' (- 3.4494898) = - 164.18163891 + 82.7877552$

ステップ 5.2.2

$- 164.18163891$ と $82.7877552$ をたし算します。

$f' (- 3.4494898) = - 81.39388371$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 81.39388371$ です。

$- 81.39388371$

ステップ 5.3

$x = - 3.4494898$ で微分係数は $- 81.39388371$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, - \sqrt{6})$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, - \sqrt{6})$ で減少

ステップ 6

区間 $(- 2.4494898, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1.2247449$ で置換えます。

$f' (- 1.2247449) = 4 {(- 1.2247449)}^{3} - 24 \cdot - 1.2247449$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$- 1.2247449$ を $3$ 乗します。

$f' (- 1.2247449) = 4 \cdot - 1.83711743 - 24 \cdot - 1.2247449$

ステップ 6.2.1.2

$4$ に $- 1.83711743$ をかけます。

$f' (- 1.2247449) = - 7.34846974 - 24 \cdot - 1.2247449$

ステップ 6.2.1.3

$- 24$ に $- 1.2247449$ をかけます。

$f' (- 1.2247449) = - 7.34846974 + 29.3938776$

ステップ 6.2.2

$- 7.34846974$ と $29.3938776$ をたし算します。

$f' (- 1.2247449) = 22.04540785$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $22.04540785$ です。

$22.04540785$

ステップ 6.3

$x = - 1.2247449$ で微分係数は $22.04540785$ です。これは正の値なので、関数は $(- 2.4494898, 0)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \sqrt{6}, 0)$ で増加

ステップ 7

区間 $(0, \sqrt{6})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $1.2247449$ で置換えます。

$f' (1.2247449) = 4 {(1.2247449)}^{3} - 24 \cdot 1.2247449$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$1.2247449$ を $3$ 乗します。

$f' (1.2247449) = 4 \cdot 1.83711743 - 24 \cdot 1.2247449$

ステップ 7.2.1.2

$4$ に $1.83711743$ をかけます。

$f' (1.2247449) = 7.34846974 - 24 \cdot 1.2247449$

ステップ 7.2.1.3

$- 24$ に $1.2247449$ をかけます。

$f' (1.2247449) = 7.34846974 - 29.3938776$

ステップ 7.2.2

$7.34846974$ から $29.3938776$ を引きます。

$f' (1.2247449) = - 22.04540785$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 22.04540785$ です。

$- 22.04540785$

ステップ 7.3

$x = 1.2247449$ で微分係数は $- 22.04540785$ です。これは負の値なので、関数は $(0, \sqrt{6})$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(0, \sqrt{6})$ で減少

ステップ 8

区間 $(\sqrt{6}, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $3.4494898$ で置換えます。

$f' (3.4494898) = 4 {(3.4494898)}^{3} - 24 \cdot 3.4494898$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1

$3.4494898$ を $3$ 乗します。

$f' (3.4494898) = 4 \cdot 41.04540972 - 24 \cdot 3.4494898$

ステップ 8.2.1.2

$4$ に $41.04540972$ をかけます。

$f' (3.4494898) = 164.18163891 - 24 \cdot 3.4494898$

ステップ 8.2.1.3

$- 24$ に $3.4494898$ をかけます。

$f' (3.4494898) = 164.18163891 - 82.7877552$

ステップ 8.2.2

$164.18163891$ から $82.7877552$ を引きます。

$f' (3.4494898) = 81.39388371$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $81.39388371$ です。

$81.39388371$

ステップ 8.3

$x = 3.4494898$ で微分係数は $81.39388371$ です。これは正の値なので、関数は $(\sqrt{6}, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(\sqrt{6}, \infty)$ で増加

ステップ 9

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \sqrt{6}, 0), (\sqrt{6}, \infty)$ で増加

$(- \infty, - \sqrt{6}), (0, \sqrt{6})$ で減少

ステップ 10

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