微分積分例

f (x) = x^{4} - 12 x^{2} + 36

$f (x) = x^{4} - 12 x^{2} + 36$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、

x^{4} - 12 x^{2} + 36

$x^{4} - 12 x^{2} + 36$ の

x

$x$ に関する積分は

\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ です。

\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

ステップ 1.1.1.2

n = 4

$n = 4$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

ステップ 1.1.2

\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

- 12

$- 12$ は

x

$x$ に対して定数なので、

x

$x$ に対する

- 12 x^{2}

$- 12 x^{2}$ の微分係数は

- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]

$4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

ステップ 1.1.2.2

n = 2

$n = 2$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

4 x^{3} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [36]

$4 x^{3} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [36]$

ステップ 1.1.2.3

2

$2$ に

- 12

$- 12$ をかけます。

4 x^{3} - 24 x + \frac{d}{d x} [36]

$4 x^{3} - 24 x + \frac{d}{d x} [36]$

4 x^{3} - 24 x + \frac{d}{d x} [36]

$4 x^{3} - 24 x + \frac{d}{d x} [36]$

ステップ 1.1.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

36

$36$ は

x

$x$ について定数なので、

x

$x$ について

36

$36$ の微分係数は

0

$0$ です。

4 x^{3} - 24 x + 0

$4 x^{3} - 24 x + 0$

ステップ 1.1.3.2

4 x^{3} - 24 x

$4 x^{3} - 24 x$ と

0

$0$ をたし算します。

f' (x) = 4 x^{3} - 24 x

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x$

f' (x) = 4 x^{3} - 24 x

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x$

f' (x) = 4 x^{3} - 24 x

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x$

ステップ 1.2

x

$x$ に関する

f (x)

$f (x)$ の一次導関数は

4 x^{3} - 24 x

$4 x^{3} - 24 x$ です。

4 x^{3} - 24 x

$4 x^{3} - 24 x$

4 x^{3} - 24 x

$4 x^{3} - 24 x$

ステップ 2

一次導関数を

0

$0$ と等しくし、次に方程式

4 x^{3} - 24 x = 0

$4 x^{3} - 24 x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を

0

$0$ に等しくします。

4 x^{3} - 24 x = 0

$4 x^{3} - 24 x = 0$

ステップ 2.2

4 x

$4 x$ を

4 x^{3} - 24 x

$4 x^{3} - 24 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

4 x

$4 x$ を

4 x^{3}

$4 x^{3}$ で因数分解します。

4 x (x^{2}) - 24 x = 0

$4 x (x^{2}) - 24 x = 0$

ステップ 2.2.2

4 x

$4 x$ を

- 24 x

$- 24 x$ で因数分解します。

4 x (x^{2}) + 4 x (- 6) = 0

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 6) = 0$

ステップ 2.2.3

4 x

$4 x$ を

4 x (x^{2}) + 4 x (- 6)

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 6)$ で因数分解します。

4 x (x^{2} - 6) = 0

$4 x (x^{2} - 6) = 0$

4 x (x^{2} - 6) = 0

$4 x (x^{2} - 6) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が

0

$0$ と等しいならば、式全体は

0

$0$ と等しくなります。

x = 0

$x = 0$

x^{2} - 6 = 0

$x^{2} - 6 = 0$

ステップ 2.4

x

$x$ が

0

$0$ に等しいとします。

x = 0

$x = 0$

ステップ 2.5

x^{2} - 6

$x^{2} - 6$ を

0

$0$ に等しくし、

x

$x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

x^{2} - 6

$x^{2} - 6$ が

0

$0$ に等しいとします。

x^{2} - 6 = 0

$x^{2} - 6 = 0$

ステップ 2.5.2

x

$x$ について

x^{2} - 6 = 0

$x^{2} - 6 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺に

6

$6$ を足します。

x^{2} = 6

$x^{2} = 6$

ステップ 2.5.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

x = \pm \sqrt{6}

$x = \pm \sqrt{6}$

ステップ 2.5.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.3.1

まず、

\pm

$\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

x = \sqrt{6}

$x = \sqrt{6}$

ステップ 2.5.2.3.2

次に、

\pm

$\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

x = - \sqrt{6}

$x = - \sqrt{6}$

ステップ 2.5.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

ステップ 2.6

最終解は

4 x (x^{2} - 6) = 0

$4 x (x^{2} - 6) = 0$ を真にするすべての値です。

x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}

$x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}

$x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

ステップ 3

微分係数が

0

$0$ に等しくなるような値は

0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}

$0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$ です。

0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}

$0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

ステップ 4

微分係数

0

$0$ または未定義になる

x

$x$ 値の周囲で、

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

(- \infty, - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6}, 0) \cup (0, \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \infty)

$(- \infty, - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6}, 0) \cup (0, \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \infty)$

ステップ 5

区間

(- \infty, - \sqrt{6})

$(- \infty, - \sqrt{6})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数

x

$x$ を

- 3.4494898

$- 3.4494898$ で置換えます。

f' (- 3.4494898) = 4 {(- 3.4494898)}^{3} - 24 \cdot - 3.4494898

$f' (- 3.4494898) = 4 {(- 3.4494898)}^{3} - 24 \cdot - 3.4494898$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

- 3.4494898

$- 3.4494898$ を

3

$3$ 乗します。

f' (- 3.4494898) = 4 \cdot - 41.04540972 - 24 \cdot - 3.4494898

$f' (- 3.4494898) = 4 \cdot - 41.04540972 - 24 \cdot - 3.4494898$

ステップ 5.2.1.2

4

$4$ に

- 41.04540972

$- 41.04540972$ をかけます。

f' (- 3.4494898) = - 164.18163891 - 24 \cdot - 3.4494898

$f' (- 3.4494898) = - 164.18163891 - 24 \cdot - 3.4494898$

ステップ 5.2.1.3

- 24

$- 24$ に

- 3.4494898

$- 3.4494898$ をかけます。

f' (- 3.4494898) = - 164.18163891 + 82.7877552

$f' (- 3.4494898) = - 164.18163891 + 82.7877552$

f' (- 3.4494898) = - 164.18163891 + 82.7877552

$f' (- 3.4494898) = - 164.18163891 + 82.7877552$

ステップ 5.2.2

- 164.18163891

$- 164.18163891$ と

82.7877552

$82.7877552$ をたし算します。

f' (- 3.4494898) = - 81.39388371

$f' (- 3.4494898) = - 81.39388371$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは

- 81.39388371

$- 81.39388371$ です。

- 81.39388371

$- 81.39388371$

- 81.39388371

$- 81.39388371$

ステップ 5.3

x = - 3.4494898

$x = - 3.4494898$ で微分係数は

- 81.39388371

$- 81.39388371$ です。これは負の値なので、関数は

(- \infty, - \sqrt{6})

$(- \infty, - \sqrt{6})$ で減少します。

f' (x) < 0

$f' (x) < 0$ なので

(- \infty, - \sqrt{6})

$(- \infty, - \sqrt{6})$ で減少

f' (x) < 0

$f' (x) < 0$ なので

(- \infty, - \sqrt{6})

$(- \infty, - \sqrt{6})$ で減少

ステップ 6

区間

(- 2.4494898, 0)

$(- 2.4494898, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数

x

$x$ を

- 1.2247449

$- 1.2247449$ で置換えます。

f' (- 1.2247449) = 4 {(- 1.2247449)}^{3} - 24 \cdot - 1.2247449

$f' (- 1.2247449) = 4 {(- 1.2247449)}^{3} - 24 \cdot - 1.2247449$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

- 1.2247449

$- 1.2247449$ を

3

$3$ 乗します。

f' (- 1.2247449) = 4 \cdot - 1.83711743 - 24 \cdot - 1.2247449

$f' (- 1.2247449) = 4 \cdot - 1.83711743 - 24 \cdot - 1.2247449$

ステップ 6.2.1.2

4

$4$ に

- 1.83711743

$- 1.83711743$ をかけます。

f' (- 1.2247449) = - 7.34846974 - 24 \cdot - 1.2247449

$f' (- 1.2247449) = - 7.34846974 - 24 \cdot - 1.2247449$

ステップ 6.2.1.3

- 24

$- 24$ に

- 1.2247449

$- 1.2247449$ をかけます。

f' (- 1.2247449) = - 7.34846974 + 29.3938776

$f' (- 1.2247449) = - 7.34846974 + 29.3938776$

f' (- 1.2247449) = - 7.34846974 + 29.3938776

$f' (- 1.2247449) = - 7.34846974 + 29.3938776$

ステップ 6.2.2

- 7.34846974

$- 7.34846974$ と

29.3938776

$29.3938776$ をたし算します。

f' (- 1.2247449) = 22.04540785

$f' (- 1.2247449) = 22.04540785$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは

22.04540785

$22.04540785$ です。

22.04540785

$22.04540785$

22.04540785

$22.04540785$

ステップ 6.3

x = - 1.2247449

$x = - 1.2247449$ で微分係数は

22.04540785

$22.04540785$ です。これは正の値なので、関数は

(- 2.4494898, 0)

$(- 2.4494898, 0)$ で増加します。

f' (x) > 0

$f' (x) > 0$ なので

(- \sqrt{6}, 0)

$(- \sqrt{6}, 0)$ で増加

f' (x) > 0

$f' (x) > 0$ なので

(- \sqrt{6}, 0)

$(- \sqrt{6}, 0)$ で増加

ステップ 7

区間

(0, \sqrt{6})

$(0, \sqrt{6})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数

x

$x$ を

1.2247449

$1.2247449$ で置換えます。

f' (1.2247449) = 4 {(1.2247449)}^{3} - 24 \cdot 1.2247449

$f' (1.2247449) = 4 {(1.2247449)}^{3} - 24 \cdot 1.2247449$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

1.2247449

$1.2247449$ を

3

$3$ 乗します。

f' (1.2247449) = 4 \cdot 1.83711743 - 24 \cdot 1.2247449

$f' (1.2247449) = 4 \cdot 1.83711743 - 24 \cdot 1.2247449$

ステップ 7.2.1.2

4

$4$ に

1.83711743

$1.83711743$ をかけます。

f' (1.2247449) = 7.34846974 - 24 \cdot 1.2247449

$f' (1.2247449) = 7.34846974 - 24 \cdot 1.2247449$

ステップ 7.2.1.3

- 24

$- 24$ に

1.2247449

$1.2247449$ をかけます。

f' (1.2247449) = 7.34846974 - 29.3938776

$f' (1.2247449) = 7.34846974 - 29.3938776$

f' (1.2247449) = 7.34846974 - 29.3938776

$f' (1.2247449) = 7.34846974 - 29.3938776$

ステップ 7.2.2

7.34846974

$7.34846974$ から

29.3938776

$29.3938776$ を引きます。

f' (1.2247449) = - 22.04540785

$f' (1.2247449) = - 22.04540785$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは

- 22.04540785

$- 22.04540785$ です。

- 22.04540785

$- 22.04540785$

- 22.04540785

$- 22.04540785$

ステップ 7.3

x = 1.2247449

$x = 1.2247449$ で微分係数は

- 22.04540785

$- 22.04540785$ です。これは負の値なので、関数は

(0, \sqrt{6})

$(0, \sqrt{6})$ で減少します。

f' (x) < 0

$f' (x) < 0$ なので

(0, \sqrt{6})

$(0, \sqrt{6})$ で減少

f' (x) < 0

$f' (x) < 0$ なので

(0, \sqrt{6})

$(0, \sqrt{6})$ で減少

ステップ 8

区間

(\sqrt{6}, \infty)

$(\sqrt{6}, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数

x

$x$ を

3.4494898

$3.4494898$ で置換えます。

f' (3.4494898) = 4 {(3.4494898)}^{3} - 24 \cdot 3.4494898

$f' (3.4494898) = 4 {(3.4494898)}^{3} - 24 \cdot 3.4494898$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

3.4494898

$3.4494898$ を

3

$3$ 乗します。

f' (3.4494898) = 4 \cdot 41.04540972 - 24 \cdot 3.4494898

$f' (3.4494898) = 4 \cdot 41.04540972 - 24 \cdot 3.4494898$

ステップ 8.2.1.2

4

$4$ に

41.04540972

$41.04540972$ をかけます。

f' (3.4494898) = 164.18163891 - 24 \cdot 3.4494898

$f' (3.4494898) = 164.18163891 - 24 \cdot 3.4494898$

ステップ 8.2.1.3

- 24

$- 24$ に

3.4494898

$3.4494898$ をかけます。

f' (3.4494898) = 164.18163891 - 82.7877552

$f' (3.4494898) = 164.18163891 - 82.7877552$

f' (3.4494898) = 164.18163891 - 82.7877552

$f' (3.4494898) = 164.18163891 - 82.7877552$

ステップ 8.2.2

164.18163891

$164.18163891$ から

82.7877552

$82.7877552$ を引きます。

f' (3.4494898) = 81.39388371

$f' (3.4494898) = 81.39388371$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは

81.39388371

$81.39388371$ です。

81.39388371

$81.39388371$

81.39388371

$81.39388371$

ステップ 8.3

x = 3.4494898

$x = 3.4494898$ で微分係数は

81.39388371

$81.39388371$ です。これは正の値なので、関数は

(\sqrt{6}, \infty)

$(\sqrt{6}, \infty)$ で増加します。

f' (x) > 0

$f' (x) > 0$ なので

(\sqrt{6}, \infty)

$(\sqrt{6}, \infty)$ で増加

f' (x) > 0

$f' (x) > 0$ なので

(\sqrt{6}, \infty)

$(\sqrt{6}, \infty)$ で増加

ステップ 9

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

(- \sqrt{6}, 0), (\sqrt{6}, \infty)

$(- \sqrt{6}, 0), (\sqrt{6}, \infty)$ で増加

(- \infty, - \sqrt{6}), (0, \sqrt{6})

$(- \infty, - \sqrt{6}), (0, \sqrt{6})$ で減少

ステップ 10

問題を入力

微分積分 例

微分積分例