微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

ステップ 1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

ステップ 1.3

指数

$x$ が

$\infty$ に近づくので、数

$e^{x}$ が

$\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 3.3

$a$ =

$e$ のとき、

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は

$a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{x}}$

ステップ 4

$2$ の項は

$x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}$

ステップ 5

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$2 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

ステップ 5.1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

ステップ 5.1.3

指数

$x$ が

$\infty$ に近づくので、数

$e^{x}$ が

$\infty$ に近づきます。

$2 \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 5.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$2 \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 5.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

分母と分子を微分します。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 5.3.2

$n = 1$ のとき、

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 5.3.3

$a$ =

$e$ のとき、

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は

$a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

ステップ 6

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数

$\frac{1}{e^{x}}$ は

$0$ に近づきます。

$2 \cdot 0$

ステップ 7

$2$ に

$0$ をかけます。

$0$

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