微分積分例

$x^{2} - 10 x \leq - 9$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} - 10 x = - 9$

ステップ 2

方程式の両辺に $9$ を足します。

$x^{2} - 10 x + 9 = 0$

ステップ 3

たすき掛けを利用して $x^{2} - 10 x + 9$ を因数分解します。

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ステップ 3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $9$ で、その和が $- 10$ です。

$- 9, - 1$

ステップ 3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 9) (x - 1) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 9 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 5

$x - 9$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x - 9$ が $0$ に等しいとします。

$x - 9 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $9$ を足します。

$x = 9$

ステップ 6

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 7

最終解は $(x - 9) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 9, 1$

ステップ 8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 1$

$1 < x < 9$

$x > 9$

ステップ 9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 9.1

区間 $x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.1.1

区間 $x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 9.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

${(0)}^{2} - 10 \cdot 0 \leq - 9$

ステップ 9.1.3

左辺 $0$ は右辺 $- 9$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 9.2

区間 $1 < x < 9$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.2.1

区間 $1 < x < 9$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 5$

ステップ 9.2.2

$x$ を元の不等式の $5$ で置き換えます。

${(5)}^{2} - 10 \cdot 5 \leq - 9$

ステップ 9.2.3

左辺 $- 25$ は右辺 $- 9$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 9.3

区間 $x > 9$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.3.1

区間 $x > 9$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 12$

ステップ 9.3.2

$x$ を元の不等式の $12$ で置き換えます。

${(12)}^{2} - 10 \cdot 12 \leq - 9$

ステップ 9.3.3

左辺 $24$ は右辺 $- 9$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 9.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 1$ 偽

$1 < x < 9$ 真

$x > 9$ 偽

$x < 1$ 偽

$1 < x < 9$ 真

$x > 9$ 偽

ステップ 10

解はすべての真の区間からなります。

$1 \leq x \leq 9$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$1 \leq x \leq 9$

区間記号：

$[1, 9]$

ステップ 12

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