微分積分例

$\frac{y}{(y - 2) (y + 3)}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{y - 2}$

ステップ 1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{y - 2} + \frac{B}{y + 3}$

ステップ 1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(y - 2) (y + 3)$ です。

$\frac{y (y - 2) (y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

ステップ 1.4

$y - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (y - 2) (y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

ステップ 1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{y (y + 3)}{y + 3} = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

ステップ 1.5

$y + 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (y + 3)}{y + 3} = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

ステップ 1.5.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

ステップ 1.6

各項を簡約します。

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ステップ 1.6.1

$y - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{A (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

ステップ 1.6.1.2

$(A) (y + 3)$ を $1$ で割ります。

$y = (A) (y + 3) + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

ステップ 1.6.2

分配則を当てはめます。

$y = A y + A \cdot 3 + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

ステップ 1.6.3

$3$ を $A$ の左に移動させます。

$y = A y + 3 \cdot A + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

ステップ 1.6.4

$y + 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.4.1

共通因数を約分します。

$y = A y + 3 A + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

ステップ 1.6.4.2

$(B) (y - 2)$ を $1$ で割ります。

$y = A y + 3 A + (B) (y - 2)$

ステップ 1.6.5

分配則を当てはめます。

$y = A y + 3 A + B y + B \cdot - 2$

ステップ 1.6.6

$- 2$ を $B$ の左に移動させます。

$y = A y + 3 A + B y - 2 B$

ステップ 1.7

$3 A$ を移動させます。

$y = A y + B y + 3 A - 2 B$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 2.1

式の両辺から $y$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A + B$

ステップ 2.2

式の両辺から $y$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = 3 A - 2 B$

ステップ 2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$1 = A + B$

$0 = 3 A - 2 B$

$1 = A + B$

$0 = 3 A - 2 B$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

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ステップ 3.1

$1 = A + B$ の $A$ について解きます。

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ステップ 3.1.1

方程式を $A + B = 1$ として書き換えます。

$A + B = 1$

$0 = 3 A - 2 B$

ステップ 3.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = 1 - B$

$0 = 3 A - 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 3 A - 2 B$

ステップ 3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $1 - B$ で置き換えます。

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ステップ 3.2.1

$0 = 3 A - 2 B$ の $A$ のすべての発生を $1 - B$ で置き換えます。

$0 = 3 (1 - B) - 2 B$

$A = 1 - B$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$3 (1 - B) - 2 B$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$0 = 3 \cdot 1 + 3 (- B) - 2 B$

$A = 1 - B$

ステップ 3.2.2.1.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$0 = 3 + 3 (- B) - 2 B$

$A = 1 - B$

ステップ 3.2.2.1.1.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$0 = 3 - 3 B - 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 3 - 3 B - 2 B$

$A = 1 - B$

ステップ 3.2.2.1.2

$- 3 B$ から $2 B$ を引きます。

$0 = 3 - 5 B$

$A = 1 - B$

$0 = 3 - 5 B$

$A = 1 - B$

$0 = 3 - 5 B$

$A = 1 - B$

$0 = 3 - 5 B$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3

$0 = 3 - 5 B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $3 - 5 B = 0$ として書き換えます。

$3 - 5 B = 0$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- 5 B = - 3$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3.3

$- 5 B = - 3$ の各項を $- 5$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$- 5 B = - 3$ の各項を $- 5$ で割ります。

$\frac{- 5 B}{- 5} = \frac{- 3}{- 5}$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.2.1

$- 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 5 B}{- 5} = \frac{- 3}{- 5}$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3.3.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{- 3}{- 5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 3}{- 5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 3}{- 5}$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$B = \frac{3}{5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{5}$

$A = 1 - B$

ステップ 3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $\frac{3}{5}$ で置き換えます。

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ステップ 3.4.1

$A = 1 - B$ の $B$ のすべての発生を $\frac{3}{5}$ で置き換えます。

$A = 1 - (\frac{3}{5})$

$B = \frac{3}{5}$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$1 - (\frac{3}{5})$ を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$A = \frac{5}{5} - \frac{3}{5}$

$B = \frac{3}{5}$

ステップ 3.4.2.1.2

公分母の分子をまとめます。

$A = \frac{5 - 3}{5}$

$B = \frac{3}{5}$

ステップ 3.4.2.1.3

$5$ から $3$ を引きます。

$A = \frac{2}{5}$

$B = \frac{3}{5}$

$A = \frac{2}{5}$

$B = \frac{3}{5}$

$A = \frac{2}{5}$

$B = \frac{3}{5}$

$A = \frac{2}{5}$

$B = \frac{3}{5}$

ステップ 3.5

すべての解をまとめます。

$A = \frac{2}{5}, B = \frac{3}{5}$

ステップ 4

$\frac{A}{y - 2} + \frac{B}{y + 3}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{\frac{2}{5}}{y - 2} + \frac{\frac{3}{5}}{y + 3}$

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