例

S ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a b c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 a - 6 b + 6 c a + 2 b + c 2 a + b + 2 c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} 2 a - 6 b + 6 c \\ a + 2 b + c \\ 2 a + b + 2 c \end{array}]$

ステップ 1

変換は

$ℝ^{3}$ から

$ℝ^{3}$ への写像を定義します。変換が線形であることを証明するために、変換はスカラー乗法、加法、およびゼロベクトルを維持しなければなりません。

S：

$ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

ステップ 2

まず、変換がこの特性をもっていることを証明します。

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

ステップ 3

2つの行列を設定し、加算の性質が

$S$ に維持されているか検定します。

$S ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

ステップ 4

2つの行列を加えます。

$S [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

ステップ 5

ベクトルに変換を当てはめます。

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 (x_{1} + y_{1}) - 6 (x_{2} + y_{2}) + 6 (x_{3} + y_{3}) \\ x_{1} + y_{1} + 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + 2 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

ステップ 6

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$2 (x_{1} + y_{1}) - 6 (x_{2} + y_{2}) + 6 (x_{3} + y_{3})$ を並べ替えます。

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - 6 x_{2} + 6 x_{3} + 2 y_{1} - 6 y_{2} + 6 y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + 2 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

ステップ 6.2

$x_{1} + y_{1} + 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3}$ を並べ替えます。

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - 6 x_{2} + 6 x_{3} + 2 y_{1} - 6 y_{2} + 6 y_{3} \\ x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + y_{1} + 2 y_{2} + y_{3} \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + 2 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

ステップ 6.3

$2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + 2 (x_{3} + y_{3})$ を並べ替えます。

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - 6 x_{2} + 6 x_{3} + 2 y_{1} - 6 y_{2} + 6 y_{3} \\ x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + y_{1} + 2 y_{2} + y_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} + 2 y_{1} + y_{2} + 2 y_{3} \end{array}]$

ステップ 7

変数をグループ化して、結果を2つの行列に分割します。

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - 6 x_{2} + 6 x_{3} \\ x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 y_{1} - 6 y_{2} + 6 y_{3} \\ y_{1} + 2 y_{2} + y_{3} \\ 2 y_{1} + y_{2} + 2 y_{3} \end{array}]$

ステップ 8

変換の加法の特性が当てはまります。

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

ステップ 9

変換が線形であるためには、スカラー乗法を維持する必要があります。

$S (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}])$

ステップ 10

各要素から

$p$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$p$ に行列の各要素を掛けます。

$S (p x) = S ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p c \end{array}])$

ステップ 10.2

ベクトルに変換を当てはめます。

$S (p x) = [\begin{array}{c} 2 ((p a) - 6 (p b) + 6 (p c)) \\ (p a) + 2 (p b) + p c \\ 2 (p a + p b + 2 (p c)) \end{array}]$

ステップ 10.3

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

$2 ((p a) - 6 (p b) + 6 (p c))$ を並べ替えます。

$S (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p - 12 b p + 12 c p \\ (p a) + 2 (p b) + p c \\ 2 (p a + p b + 2 (p c)) \end{array}]$

ステップ 10.3.2

$(p a) + 2 (p b) + p c$ を並べ替えます。

$S (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p - 12 b p + 12 c p \\ a p + 2 b p + c p \\ 2 (p a + p b + 2 (p c)) \end{array}]$

ステップ 10.3.3

$2 (p a + p b + 2 (p c))$ を並べ替えます。

$S (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p - 12 b p + 12 c p \\ a p + 2 b p + c p \\ 2 a p + 2 b p + 4 c p \end{array}]$

ステップ 10.4

行列の各要素を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

$2 a p - 12 b p + 12 c p$ を掛けて要素

$0, 0$ を因数分解します。

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a - 12 b + 12 c) \\ a p + 2 b p + c p \\ 2 a p + 2 b p + 4 c p \end{array}]$

ステップ 10.4.2

$a p + 2 b p + c p$ を掛けて要素

$1, 0$ を因数分解します。

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a - 12 b + 12 c) \\ p (a + 2 b + c) \\ 2 a p + 2 b p + 4 c p \end{array}]$

ステップ 10.4.3

$2 a p + 2 b p + 4 c p$ を掛けて要素

$2, 0$ を因数分解します。

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a - 12 b + 12 c) \\ p (a + 2 b + c) \\ p (2 a + 2 b + 4 c) \end{array}]$

ステップ 11

線形変換の2番目の特性はこの変換で維持されます。

$S (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = p S (x)$

ステップ 12

変換が線形であるために、0ベクトルが保存されている必要があります。

$S (0) = 0$

ステップ 13

ベクトルに変換を当てはめます。

$S (0) = [\begin{array}{c} 2 (0) - 6 \cdot 0 + 6 (0) \\ (0) + 2 (0) + 0 \\ 2 (0) + 0 + 2 (0) \end{array}]$

ステップ 14

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$2 (0) - 6 \cdot 0 + 6 (0)$ を並べ替えます。

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ (0) + 2 (0) + 0 \\ 2 (0) + 0 + 2 (0) \end{array}]$

ステップ 14.2

$(0) + 2 (0) + 0$ を並べ替えます。

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2 (0) + 0 + 2 (0) \end{array}]$

ステップ 14.3

$2 (0) + 0 + 2 (0)$ を並べ替えます。

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

ステップ 15

ゼロベクトルは変換によって維持されます。

$S (0) = 0$

ステップ 16

一次変換の3つの特性が一致しないので、これは一次変換ではありません。

線形変換

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