例

$(2, 3)$ , $(1, 3)$ , $(- 4, 3)$

ステップ 1

双曲線には2つの一般方程式があります。

水平双曲線方程式 $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

垂直双曲線方程式 $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 2

$a$ は、交点 $(1, 3)$ と中心点 $(2, 3)$ 間の距離です。

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ステップ 2.1

距離の公式を利用して2点間の距離を決定します。

$距離 = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

ステップ 2.2

点の実際の値を距離の公式に代入します。

$a = \sqrt{{(1 - 2)}^{2} + {(3 - 3)}^{2}}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

$1$ から $2$ を引きます。

$a = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(3 - 3)}^{2}}$

ステップ 2.3.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$a = \sqrt{1 + {(3 - 3)}^{2}}$

ステップ 2.3.3

$3$ から $3$ を引きます。

$a = \sqrt{1 + 0^{2}}$

ステップ 2.3.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$a = \sqrt{1 + 0}$

ステップ 2.3.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$a = \sqrt{1}$

ステップ 2.3.6

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$a = 1$

ステップ 3

$c$ は、焦点 $(- 4, 3)$ と中心 $(2, 3)$ 間の距離です。

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ステップ 3.1

距離の公式を利用して2点間の距離を決定します。

$距離 = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

ステップ 3.2

点の実際の値を距離の公式に代入します。

$c = \sqrt{{((- 4) - 2)}^{2} + {(3 - 3)}^{2}}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

$- 4$ から $2$ を引きます。

$c = \sqrt{{(- 6)}^{2} + {(3 - 3)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$- 6$ を $2$ 乗します。

$c = \sqrt{36 + {(3 - 3)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

$3$ から $3$ を引きます。

$c = \sqrt{36 + 0^{2}}$

ステップ 3.3.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$c = \sqrt{36 + 0}$

ステップ 3.3.5

$36$ と $0$ をたし算します。

$c = \sqrt{36}$

ステップ 3.3.6

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$c = \sqrt{6^{2}}$

ステップ 3.3.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$c = 6$

ステップ 4

方程式 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ を使う。 $1$ を $a$ に、 $6$ を $c$ に代入します。

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ステップ 4.1

方程式を ${(1)}^{2} + b^{2} = 6^{2}$ として書き換えます。

${(1)}^{2} + b^{2} = 6^{2}$

ステップ 4.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + b^{2} = 6^{2}$

ステップ 4.3

$6$ を $2$ 乗します。

$1 + b^{2} = 36$

ステップ 4.4

$b$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.4.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$b^{2} = 36 - 1$

ステップ 4.4.2

$36$ から $1$ を引きます。

$b^{2} = 35$

ステップ 4.5

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$b = \pm \sqrt{35}$

ステップ 4.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$b = \sqrt{35}$

ステップ 4.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$b = - \sqrt{35}$

ステップ 4.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$b = \sqrt{35}, - \sqrt{35}$

ステップ 5

$b$ は距離で、正数である必要があります。

$b = \sqrt{35}$

ステップ 6

焦点 $(- 4, 3)$ と中心 $(2, 3)$ を結ぶ直線の傾きが、双曲線が垂直か水平かを決定します。傾きが $0$ の場合、グラフは水平です。傾きが未定義の場合、グラフは垂直です。

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ステップ 6.1

傾きは、 $x$ の変化に対する $y$ の変化に等しい、または上昇です。

$m = \frac{yの変化}{xの変化}$

ステップ 6.2

$x$ の変化はx座標の差（増加ともいう）に等しく、 $y$ の変化はy座標の差（上昇ともいう）に等しい。

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

ステップ 6.3

方程式の $x$ と $y$ の値に代入し、傾きを求めます。

$m = \frac{3 - (3)}{2 - (- 4)}$

ステップ 6.4

簡約します。

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ステップ 6.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.4.1.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$m = \frac{3 - 3}{2 - (- 4)}$

ステップ 6.4.1.2

$3$ から $3$ を引きます。

$m = \frac{0}{2 - (- 4)}$

ステップ 6.4.2

分母を簡約します。

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ステップ 6.4.2.1

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$m = \frac{0}{2 + 4}$

ステップ 6.4.2.2

$2$ と $4$ をたし算します。

$m = \frac{0}{6}$

ステップ 6.4.3

$0$ を $6$ で割ります。

$m = 0$

ステップ 6.5

水平双曲線の一般方程式は $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ です。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 7

$h = 2$ 、 $k = 3$ 、 $a = 1$ 、および $b = \sqrt{35}$ の値を $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ に代入し、双曲線方程式 $\frac{{(x - (2))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (3))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1$ を得ます。

$\frac{{(x - (2))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (3))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1$

ステップ 8

簡約し、双曲線の最後の方程式を求めます。

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ステップ 8.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{1^{2}} - \frac{{(y - (3))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1$

ステップ 8.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{1} - \frac{{(y - (3))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1$

ステップ 8.3

${(x - 2)}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - (3))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1$

ステップ 8.4

$- 1$ に $3$ をかけます。

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{{\sqrt{35}}^{2}} = 1$

ステップ 8.5

${\sqrt{35}}^{2}$ を $35$ に書き換えます。

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ステップ 8.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{35}$ を $35^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{{(35^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

ステップ 8.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{35^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

ステップ 8.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{35^{\frac{2}{2}}} = 1$

ステップ 8.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.5.4.1

共通因数を約分します。

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{35^{\frac{2}{2}}} = 1$

ステップ 8.5.4.2

式を書き換えます。

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{35} = 1$

ステップ 8.5.5

指数を求めます。

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{35} = 1$

ステップ 9

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