例

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$

ステップ 1

有理根検定を用いて

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ の形をもち、

p

$p$ は定数の因数、

q

$q$ は首位係数の因数です。

p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

ステップ 1.2

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

ステップ 1.3

2

$2$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は

0

$0$ に等しいので、

2

$2$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

2

$2$ を多項式に代入します。

2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8

$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

ステップ 1.3.2

2

$2$ を

3

$3$ 乗します。

8 - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8

$8 - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

ステップ 1.3.3

2

$2$ を

2

$2$ 乗します。

8 - 6 \cdot 4 + 12 \cdot 2 - 8

$8 - 6 \cdot 4 + 12 \cdot 2 - 8$

ステップ 1.3.4

- 6

$- 6$ に

4

$4$ をかけます。

8 - 24 + 12 \cdot 2 - 8

$8 - 24 + 12 \cdot 2 - 8$

ステップ 1.3.5

8

$8$ から

24

$24$ を引きます。

- 16 + 12 \cdot 2 - 8

$- 16 + 12 \cdot 2 - 8$

ステップ 1.3.6

12

$12$ に

2

$2$ をかけます。

- 16 + 24 - 8

$- 16 + 24 - 8$

ステップ 1.3.7

- 16

$- 16$ と

24

$24$ をたし算します。

8 - 8

$8 - 8$

ステップ 1.3.8

8

$8$ から

8

$8$ を引きます。

0

$0$

0

$0$

ステップ 1.4

2

$2$ は既知の根なので、多項式を

x - 2

$x - 2$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x - 2}

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x - 2}$

ステップ 1.5

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ を

x - 2

$x - 2$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、

0

$0$ の値の項を挿入します。

x

$x$

2

$2$

x^{3}

$x^{3}$

6 x^{2}

$6 x^{2}$

12 x

$12 x$

8

$8$

ステップ 1.5.2

被除数

x^{3}

$x^{3}$ の最高次項を除数

x

$x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$ $x^{2}$
	$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$

ステップ 1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			+	$x^{3}$ $x^{3}$	-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$

ステップ 1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、

x^{3} - 2 x^{2}

$x^{3} - 2 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$

ステップ 1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$

ステップ 1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$

ステップ 1.5.7

被除数

- 4 x^{2}

$- 4 x^{2}$ の最高次項を除数

x

$x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$

ステップ 1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$8 x$ $8 x$

ステップ 1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、

- 4 x^{2} + 8 x

$- 4 x^{2} + 8 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$8 x$ $8 x$

ステップ 1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$8 x$ $8 x$
							+	$4 x$ $4 x$

ステップ 1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

ステップ 1.5.12

被除数

$4 x$ の最高次項を除数

$x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

ステップ 1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							+	$4 x$	-	$8$

ステップ 1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、

$4 x - 8$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$

ステップ 1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$
										$0$

ステップ 1.5.16

Since the remainder is

$0$ , the final answer is the quotient.

$x^{2} - 4 x + 4$

ステップ 1.6

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ を因数の集合として書き換えます。

$(x - 2) (x^{2} - 4 x + 4)$

ステップ 2

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$4$ を

$2^{2}$ に書き換えます。

$(x - 2) (x^{2} - 4 x + 2^{2})$

ステップ 2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 2.3

多項式を書き換えます。

$(x - 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})$

ステップ 2.4

$a = x$ と

$b = 2$ ならば、完全平方3項式

$a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$(x - 2) {(x - 2)}^{2}$

ステップ 3

同類因数をまとめます

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x - 2$ を

$1$ 乗します。

${(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{2}$

ステップ 3.2

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(x - 2)}^{1 + 2}$

ステップ 3.3

$1$ と

$2$ をたし算します。

${(x - 2)}^{3}$

ステップ 4

多項式が因数分解できるので、素数ではありません。

素数ではありません

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