代数例

$y = 2 x^{2} - 12 x + 9$

ステップ 1

$0$ を $y$ に代入します。

$0 = 2 x^{2} - 12 x + 9$

ステップ 2

方程式を適切な形で簡約し、平方を完成させます。

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ステップ 2.1

括弧を削除します。

$0 = 2 x^{2} - 12 x + 9$

ステップ 2.2

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$2 x^{2} - 12 x + 9 = 0$

ステップ 2.3

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$2 x^{2} - 12 x = - 9$

ステップ 3

$2 x^{2} - 12 x = - 9$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1

$2 x^{2} - 12 x = - 9$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{- 12 x}{2} = \frac{- 9}{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{- 12 x}{2} = \frac{- 9}{2}$

ステップ 3.2.1.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + \frac{- 12 x}{2} = \frac{- 9}{2}$

ステップ 3.2.1.2

$- 12$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.2.1

$2$ を $- 12 x$ で因数分解します。

$x^{2} + \frac{2 (- 6 x)}{2} = \frac{- 9}{2}$

ステップ 3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$x^{2} + \frac{2 (- 6 x)}{2 (1)} = \frac{- 9}{2}$

ステップ 3.2.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$x^{2} + \frac{2 (- 6 x)}{2 \cdot 1} = \frac{- 9}{2}$

ステップ 3.2.1.2.2.3

式を書き換えます。

$x^{2} + \frac{- 6 x}{1} = \frac{- 9}{2}$

ステップ 3.2.1.2.2.4

$- 6 x$ を $1$ で割ります。

$x^{2} - 6 x = \frac{- 9}{2}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} - 6 x = - \frac{9}{2}$

ステップ 4

式の左辺に3項式の2乗を作るために、 $b$ の半分の2乗に等しい値を求めます。

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

ステップ 5

方程式の各辺に項を加えます。

$x^{2} - 6 x + {(- 3)}^{2} = - \frac{9}{2} + {(- 3)}^{2}$

ステップ 6

方程式を簡約します。

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ステップ 6.1

左辺を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$x^{2} - 6 x + 9 = - \frac{9}{2} + {(- 3)}^{2}$

ステップ 6.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$- \frac{9}{2} + {(- 3)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$x^{2} - 6 x + 9 = - \frac{9}{2} + 9$

ステップ 6.2.1.2

$9$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x^{2} - 6 x + 9 = - \frac{9}{2} + 9 \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 6.2.1.3

$9$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x^{2} - 6 x + 9 = - \frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2}$

ステップ 6.2.1.4

公分母の分子をまとめます。

$x^{2} - 6 x + 9 = \frac{- 9 + 9 \cdot 2}{2}$

ステップ 6.2.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.1.5.1

$9$ に $2$ をかけます。

$x^{2} - 6 x + 9 = \frac{- 9 + 18}{2}$

ステップ 6.2.1.5.2

$- 9$ と $18$ をたし算します。

$x^{2} - 6 x + 9 = \frac{9}{2}$

ステップ 7

${(x - 3)}^{2}$ に完全3項平方を因数分解します。

${(x - 3)}^{2} = \frac{9}{2}$

ステップ 8

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 8.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x - 3 = \pm \sqrt{\frac{9}{2}}$

ステップ 8.2

$\pm \sqrt{\frac{9}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$\sqrt{\frac{9}{2}}$ を $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$x - 3 = \pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.2.2

分子を簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x - 3 = \pm \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x - 3 = \pm \frac{3}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.2.3

$\frac{3}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x - 3 = \pm \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.2.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 8.2.4.1

$\frac{3}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 8.2.4.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 8.2.4.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 8.2.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 8.2.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 8.2.4.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 8.2.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 8.2.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 8.2.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.2.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.2.4.6.4.2

式を書き換えます。

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 8.2.4.6.5

指数を求めます。

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 8.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 8.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x - 3 = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 8.3.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3$

ステップ 8.3.3

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x - 3 = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 8.3.4

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3$

ステップ 8.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3, - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3, - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3$

10進法形式：

$x = 5.12132034 \dots, 0.87867965 \dots$

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