代数例

S ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a b c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a - 6 b - 3 c a - 2 b + c a + 3 b + 5 c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} a - 6 b - 3 c \\ a - 2 b + c \\ a + 3 b + 5 c \end{array}]$

ステップ 1

変換のカーネルは、変換を0ベクトルに等しくするベクトルです（変換の原像）

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a - 6 b - 3 c a - 2 b + c a + 3 b + 5 c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = 0

$[\begin{array}{c} a - 6 b - 3 c \\ a - 2 b + c \\ a + 3 b + 5 c \end{array}] = 0$

ステップ 2

ベクトル方程式で連立方程式を作成します。

a - 6 b - 3 c = 0

$a - 6 b - 3 c = 0$

a - 2 b + c = 0

$a - 2 b + c = 0$

a + 3 b + 5 c = 0

$a + 3 b + 5 c = 0$

ステップ 3

式を行列で書きます。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 3 & 0 1 & - 2 & 1 & 0 1 & 3 & 5 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 5 & 0 \end{array}]$

ステップ 4

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

行演算

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ を行い

2, 1

$2, 1$ の項目を

0

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

行演算

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ を行い

2, 1

$2, 1$ の項目を

0

$0$ にします。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 3 & 0 1 - 1 & - 2 + 6 & 1 + 3 & 0 - 0 1 & 3 & 5 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 1 - 1 & - 2 + 6 & 1 + 3 & 0 - 0 \\ 1 & 3 & 5 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.1.2

R_{2}

$R_{2}$ を簡約します。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 3 & 0 0 & 4 & 4 & 0 1 & 3 & 5 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 0 & 4 & 4 & 0 \\ 1 & 3 & 5 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 3 & 0 0 & 4 & 4 & 0 1 & 3 & 5 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 0 & 4 & 4 & 0 \\ 1 & 3 & 5 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.2

行演算

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ を行い

3, 1

$3, 1$ の項目を

0

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

行演算

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ を行い

3, 1

$3, 1$ の項目を

0

$0$ にします。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 3 & 0 0 & 4 & 4 & 0 1 - 1 & 3 + 6 & 5 + 3 & 0 - 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 0 & 4 & 4 & 0 \\ 1 - 1 & 3 + 6 & 5 + 3 & 0 - 0 \end{array}]$

ステップ 4.2.2

R_{3}

$R_{3}$ を簡約します。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 3 & 0 0 & 4 & 4 & 0 0 & 9 & 8 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 0 & 4 & 4 & 0 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 3 & 0 0 & 4 & 4 & 0 0 & 9 & 8 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 0 & 4 & 4 & 0 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3

R_{2}

$R_{2}$ の各要素に

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ を掛けて

2, 2

$2, 2$ の項目を

1

$1$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

R_{2}

$R_{2}$ の各要素に

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ を掛けて

2, 2

$2, 2$ の項目を

1

$1$ にします。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 3 & 0 \frac{0}{4} & \frac{4}{4} & \frac{4}{4} & \frac{0}{4} 0 & 9 & 8 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ \frac{0}{4} & \frac{4}{4} & \frac{4}{4} & \frac{0}{4} \\ 0 & 9 & 8 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2

R_{2}

$R_{2}$ を簡約します。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 3 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 9 & 8 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 3 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 9 & 8 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.4

行演算

R_{3} = R_{3} - 9 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 9 R_{2}$ を行い

3, 2

$3, 2$ の項目を

0

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

行演算

R_{3} = R_{3} - 9 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 9 R_{2}$ を行い

3, 2

$3, 2$ の項目を

0

$0$ にします。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 3 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 - 9 \cdot 0 & 9 - 9 \cdot 1 & 8 - 9 \cdot 1 & 0 - 9 \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 - 9 \cdot 0 & 9 - 9 \cdot 1 & 8 - 9 \cdot 1 & 0 - 9 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 4.4.2

R_{3}

$R_{3}$ を簡約します。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 3 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & - 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 3 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & - 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.5

R_{3}

$R_{3}$ の各要素に

- 1

$- 1$ を掛けて

3, 3

$3, 3$ の項目を

1

$1$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

R_{3}

$R_{3}$ の各要素に

- 1

$- 1$ を掛けて

3, 3

$3, 3$ の項目を

1

$1$ にします。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 3 & 0 0 & 1 & 1 & 0 - 0 & - 0 & - - 1 & - 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ - 0 & - 0 & - - 1 & - 0 \end{array}]$

ステップ 4.5.2

R_{3}

$R_{3}$ を簡約します。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 3 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 3 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.6

行演算

R_{2} = R_{2} - R_{3}

$R_{2} = R_{2} - R_{3}$ を行い

2, 3

$2, 3$ の項目を

0

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

行演算

R_{2} = R_{2} - R_{3}

$R_{2} = R_{2} - R_{3}$ を行い

2, 3

$2, 3$ の項目を

0

$0$ にします。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 3 & 0 0 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.6.2

R_{2}

$R_{2}$ を簡約します。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 3 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 3 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.7

行演算

R_{1} = R_{1} + 3 R_{3}

$R_{1} = R_{1} + 3 R_{3}$ を行い

1, 3

$1, 3$ の項目を

0

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1

行演算

R_{1} = R_{1} + 3 R_{3}

$R_{1} = R_{1} + 3 R_{3}$ を行い

1, 3

$1, 3$ の項目を

0

$0$ にします。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 + 3 \cdot 0 & - 6 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 + 3 \cdot 0 & - 6 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.7.2

R_{1}

$R_{1}$ を簡約します。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.8

行演算

R_{1} = R_{1} + 6 R_{2}

$R_{1} = R_{1} + 6 R_{2}$ を行い

1, 2

$1, 2$ の項目を

0

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1

行演算

R_{1} = R_{1} + 6 R_{2}

$R_{1} = R_{1} + 6 R_{2}$ を行い

1, 2

$1, 2$ の項目を

0

$0$ にします。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 + 6 \cdot 0 & - 6 + 6 \cdot 1 & 0 + 6 \cdot 0 & 0 + 6 \cdot 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 + 6 \cdot 0 & - 6 + 6 \cdot 1 & 0 + 6 \cdot 0 & 0 + 6 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.8.2

R_{1}

$R_{1}$ を簡約します。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 5

結果の行列を利用して連立方程式の最終的な解とします。

$a = 0$

$b = 0$

$c = 0$

ステップ 6

各行の自由変数の項の解を求めて、解のベクトルを書きます。

$[\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

ステップ 7

解の集合で書きます。

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

ステップ 8

$S$ の核（カーネル）は部分空間

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$ です。

$K (S) = {[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

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代数 例

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