代数例

[\begin{matrix} 0 & 1 1 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 1

固有値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

公式を設定し特性方程式

p (λ)

$p (λ)$ を求めます。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$

ステップ 1.2

サイズ

$2$ の単位行列または恒等行列は

$2 \times 2$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 1.3

既知の値を

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}]$ を

$A$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] - λ I_{2})$

ステップ 1.3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ を

$I_{2}$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

$0$ に

$- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$0$ に

$λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.3.1

$0$ に

$- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.3.2

$0$ に

$λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.4

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 1.4.2

対応する要素を足します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 0 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

$0$ から

$λ$ を引きます。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.2

$1$ と

$0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.3

$1$ と

$0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & 0 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.4

$0$ から

$λ$ を引きます。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & - λ \end{array}]$

ステップ 1.5

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = - λ (- λ) - 1 \cdot 1$

ステップ 1.5.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1$

ステップ 1.5.2.2

指数を足して

$λ$ に

$λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.2.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1$

ステップ 1.5.2.2.2

$λ$ に

$λ$ をかけます。

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1$

ステップ 1.5.2.3

$- 1$ に

$- 1$ をかけます。

$p (λ) = 1 λ^{2} - 1 \cdot 1$

ステップ 1.5.2.4

$λ^{2}$ に

$1$ をかけます。

$p (λ) = λ^{2} - 1 \cdot 1$

ステップ 1.5.2.5

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$p (λ) = λ^{2} - 1$

ステップ 1.6

特性多項式を

$0$ と等しくし、固有値

$λ$ を求めます。

$λ^{2} - 1 = 0$

ステップ 1.7

$λ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

方程式の両辺に

$1$ を足します。

$λ^{2} = 1$

ステップ 1.7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{1}$

ステップ 1.7.3

$1$ のいずれの根は

$1$ です。

$λ = \pm 1$

ステップ 1.7.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.1

まず、

$\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$λ = 1$

ステップ 1.7.4.2

次に、

$\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$λ = - 1$

ステップ 1.7.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$λ = 1, - 1$

ステップ 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where

$N$ is the null space and

$I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

ステップ 3

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = 1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

対応する要素を引きます。

$[\begin{array}{c} 0 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.2

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$0$ から

$1$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2

$1$ から

$0$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 1 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.3

$1$ から

$0$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 1 & 0 - 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.4

$0$ から

$1$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array}]$

ステップ 3.3

Find the null space when

$λ = 1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- 1$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- 1$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 1 - 1 & - 1 + 1 & 0 - 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.2.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - y = 0$

$0 = 0$

ステップ 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]$

ステップ 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

ステップ 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

ステップ 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 4

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = - 1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 0 + 1 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.2

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$0$ と

$1$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.2.2

$1$ と

$0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.2.3

$1$ と

$0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 0 + 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.2.4

$0$ と

$1$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}]$

ステップ 4.3

Find the null space when

$λ = - 1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 1 & 0 - 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.1.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + y = 0$

$0 = 0$

ステップ 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - y \\ y \end{array}]$

ステップ 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]$

ステップ 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

ステップ 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 5

The eigenspace of

$A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]}$

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