代数例

x^{2} + 4 y^{2} = 1

$x^{2} + 4 y^{2} = 1$

ステップ 1

方程式の各項を簡約し、右辺を

1

$1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が

1

$1$ に等しいことが必要です。

x^{2} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{4}} = 1

$x^{2} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{4}} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数

a

$a$ は楕円の長軸の半径を、

b

$b$ は楕円の短軸の半径を、

h

$h$ は原点からのx補正値を、

k

$k$ は原点からのy補正値を表します。

a = 1

$a = 1$

b = \frac{1}{2}

$b = \frac{1}{2}$

k = 0

$k = 0$

h = 0

$h = 0$

ステップ 4

楕円の中心は

(h, k)

$(h, k)$ の形に従います。

h

$h$ と

k

$k$ の値に代入します。

(0, 0)

$(0, 0)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離

c

$c$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

次の式を利用して楕円の中心から焦点までの距離を求めます。

\sqrt{a^{2} - b^{2}}

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

ステップ 5.2

a

$a$ と

b

$b$ の値を公式に代入します。

\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.2

積の法則を

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ に当てはめます。

\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 5.3.3

1のすべての数の累乗は1です。

\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}

$\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}$

ステップ 5.3.4

2

$2$ を

2

$2$ 乗します。

\sqrt{1 - \frac{1}{4}}

$\sqrt{1 - \frac{1}{4}}$

ステップ 5.3.5

1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}

$\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

ステップ 5.3.6

公分母の分子をまとめます。

\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}

$\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}$

ステップ 5.3.7

4

$4$ から

1

$1$ を引きます。

\sqrt{\frac{3}{4}}

$\sqrt{\frac{3}{4}}$

ステップ 5.3.8

\sqrt{\frac{3}{4}}

$\sqrt{\frac{3}{4}}$ を

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

ステップ 5.3.9

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.9.1

4

$4$ を

2^{2}

$2^{2}$ に書き換えます。

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 5.3.9.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

楕円の1番目の頂点は、

a

$a$ を

h

$h$ に加えることで求められます。

(h + a, k)

$(h + a, k)$

ステップ 6.2

h

$h$ と

a

$a$ 、および

k

$k$ の既知数を公式に代入します。

(0 + 1, 0)

$(0 + 1, 0)$

ステップ 6.3

簡約します。

(1, 0)

$(1, 0)$

ステップ 6.4

楕円の2番目の交点は、

h

$h$ から

a

$a$ を引くことで求められます。

(h - a, k)

$(h - a, k)$

ステップ 6.5

h

$h$ と

a

$a$ 、および

k

$k$ の既知数を公式に代入します。

(0 - (1), 0)

$(0 - (1), 0)$

ステップ 6.6

簡約します。

(- 1, 0)

$(- 1, 0)$

ステップ 6.7

楕円には2つの頂点があります。

{Vertex}_{1}

${Vertex}_{1}$ :

(1, 0)

$(1, 0)$

{Vertex}_{2}

${Vertex}_{2}$ :

(- 1, 0)

$(- 1, 0)$

{Vertex}_{1}

${Vertex}_{1}$ :

(1, 0)

$(1, 0)$

{Vertex}_{2}

${Vertex}_{2}$ :

(- 1, 0)

$(- 1, 0)$

ステップ 7

焦点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

楕円の1番目の焦点は、

c

$c$ を

h

$h$ に加えることで求められます。

(h + c, k)

$(h + c, k)$

ステップ 7.2

h

$h$ と

c

$c$ 、および

k

$k$ の既知数を公式に代入します。

(0 + \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)

$(0 + \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

ステップ 7.3

簡約します。

(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)

$(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

ステップ 7.4

楕円の2番目の焦点は、

h

$h$ から

c

$c$ を引くことで求められます。

(h - c, k)

$(h - c, k)$

ステップ 7.5

h

$h$ と

c

$c$ 、および

k

$k$ の既知数を公式に代入します。

(0 - (\frac{\sqrt{3}}{2}), 0)

$(0 - (\frac{\sqrt{3}}{2}), 0)$

ステップ 7.6

簡約します。

(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)

$(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

ステップ 7.7

楕円には2つの焦点があります。

{Focus}_{1}

${Focus}_{1}$ :

(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)

$(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

{Focus}_{2}

${Focus}_{2}$ :

(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)

$(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

{Focus}_{1}

${Focus}_{1}$ :

(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)

$(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

{Focus}_{2}

${Focus}_{2}$ :

(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)

$(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

ステップ 8

離心率を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

a

$a$ と

b

$b$ の値を公式に代入します。

\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}}{1}

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}}{1}$

ステップ 8.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$ を

1

$1$ で割ります。

\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

ステップ 8.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

ステップ 8.3.3

積の法則を

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ に当てはめます。

\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 8.3.4

1のすべての数の累乗は1です。

\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}

$\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}$

ステップ 8.3.5

2

$2$ を

2

$2$ 乗します。

\sqrt{1 - \frac{1}{4}}

$\sqrt{1 - \frac{1}{4}}$

ステップ 8.3.6

1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}

$\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

ステップ 8.3.7

公分母の分子をまとめます。

\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}

$\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}$

ステップ 8.3.8

4

$4$ から

1

$1$ を引きます。

\sqrt{\frac{3}{4}}

$\sqrt{\frac{3}{4}}$

ステップ 8.3.9

\sqrt{\frac{3}{4}}

$\sqrt{\frac{3}{4}}$ を

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

ステップ 8.3.10

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.10.1

4

$4$ を

2^{2}

$2^{2}$ に書き換えます。

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 8.3.10.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 9

これらの値は楕円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心：

(0, 0)

$(0, 0)$

{Vertex}_{1}

${Vertex}_{1}$ :

(1, 0)

$(1, 0)$

{Vertex}_{2}

${Vertex}_{2}$ :

(- 1, 0)

$(- 1, 0)$

{Focus}_{1}

${Focus}_{1}$ :

(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)

$(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

{Focus}_{2}

${Focus}_{2}$ :

(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)

$(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

偏心：

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 10

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代数 例

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