代数例

$(- 1, - 2)$ , $(2, - 2)$ , $(4, - 2)$

ステップ 1

楕円には2つの一般方程式があります。

水平楕円方程式 $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

垂直楕円方程式 $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 2

$a$ は、交点 $(4, - 2)$ と中心点 $(- 1, - 2)$ 間の距離です。

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ステップ 2.1

距離の公式を利用して2点間の距離を決定します。

$距離 = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

ステップ 2.2

点の実際の値を距離の公式に代入します。

$a = \sqrt{{(4 - (- 1))}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$a = \sqrt{{(4 + 1)}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

ステップ 2.3.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$a = \sqrt{5^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

ステップ 2.3.3

$5$ を $2$ 乗します。

$a = \sqrt{25 + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

ステップ 2.3.4

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$a = \sqrt{25 + {(- 2 + 2)}^{2}}$

ステップ 2.3.5

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$a = \sqrt{25 + 0^{2}}$

ステップ 2.3.6

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$a = \sqrt{25 + 0}$

ステップ 2.3.7

$25$ と $0$ をたし算します。

$a = \sqrt{25}$

ステップ 2.3.8

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$a = \sqrt{5^{2}}$

ステップ 2.3.9

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$a = 5$

ステップ 3

$c$ は、焦点 $(2, - 2)$ と中心 $(- 1, - 2)$ 間の距離です。

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ステップ 3.1

距離の公式を利用して2点間の距離を決定します。

$距離 = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

ステップ 3.2

点の実際の値を距離の公式に代入します。

$c = \sqrt{{(2 - (- 1))}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$c = \sqrt{{(2 + 1)}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$c = \sqrt{3^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

ステップ 3.3.3

$3$ を $2$ 乗します。

$c = \sqrt{9 + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

ステップ 3.3.4

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$c = \sqrt{9 + {(- 2 + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.5

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$c = \sqrt{9 + 0^{2}}$

ステップ 3.3.6

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$c = \sqrt{9 + 0}$

ステップ 3.3.7

$9$ と $0$ をたし算します。

$c = \sqrt{9}$

ステップ 3.3.8

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$c = \sqrt{3^{2}}$

ステップ 3.3.9

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$c = 3$

ステップ 4

方程式 $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ を使う。 $5$ を $a$ に、 $3$ を $c$ に代入します。

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ステップ 4.1

方程式を ${(5)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$ として書き換えます。

${(5)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$

ステップ 4.2

$5$ を $2$ 乗します。

$25 - b^{2} = 3^{2}$

ステップ 4.3

$3$ を $2$ 乗します。

$25 - b^{2} = 9$

ステップ 4.4

$b$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.4.1

方程式の両辺から $25$ を引きます。

$- b^{2} = 9 - 25$

ステップ 4.4.2

$9$ から $25$ を引きます。

$- b^{2} = - 16$

ステップ 4.5

$- b^{2} = - 16$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.5.1

$- b^{2} = - 16$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

ステップ 4.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.5.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

ステップ 4.5.2.2

$b^{2}$ を $1$ で割ります。

$b^{2} = \frac{- 16}{- 1}$

ステップ 4.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.5.3.1

$- 16$ を $- 1$ で割ります。

$b^{2} = 16$

ステップ 4.6

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$b = \pm \sqrt{16}$

ステップ 4.7

$\pm \sqrt{16}$ を簡約します。

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ステップ 4.7.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$b = \pm \sqrt{4^{2}}$

ステップ 4.7.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$b = \pm 4$

ステップ 4.8

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.8.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$b = 4$

ステップ 4.8.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$b = - 4$

ステップ 4.8.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$b = 4, - 4$

ステップ 5

$b$ は距離で、正数である必要があります。

$b = 4$

ステップ 6

焦点 $(2, - 2)$ と中心 $(- 1, - 2)$ を結ぶ直線の傾きが、楕円が垂直か水平かを決定します。傾きが $0$ の場合、グラフは水平です。傾きが未定義の場合、グラフは垂直です。

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ステップ 6.1

傾きは、 $x$ の変化に対する $y$ の変化に等しい、または上昇です。

$m = \frac{yの変化}{xの変化}$

ステップ 6.2

$x$ の変化はx座標の差（増加ともいう）に等しく、 $y$ の変化はy座標の差（上昇ともいう）に等しい。

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

ステップ 6.3

方程式の $x$ と $y$ の値に代入し、傾きを求めます。

$m = \frac{- 2 - (- 2)}{- 1 - (2)}$

ステップ 6.4

簡約します。

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ステップ 6.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.4.1.1

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$m = \frac{- 2 + 2}{- 1 - (2)}$

ステップ 6.4.1.2

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$m = \frac{0}{- 1 - (2)}$

ステップ 6.4.2

分母を簡約します。

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ステップ 6.4.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$m = \frac{0}{- 1 - 2}$

ステップ 6.4.2.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$m = \frac{0}{- 3}$

ステップ 6.4.3

$0$ を $- 3$ で割ります。

$m = 0$

ステップ 6.5

水平楕円の一般方程式は $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ です。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 7

$h = - 1$ 、 $k = - 2$ 、 $a = 5$ 、および $b = 4$ の値を $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ に代入し、楕円の方程式 $\frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(5)}^{2}} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1$ を得ます。

$\frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(5)}^{2}} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1$

ステップ 8

簡約し、楕円の最後の方程式を求めます。

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ステップ 8.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{5^{2}} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1$

ステップ 8.2

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1$

ステップ 8.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{4^{2}} = 1$

ステップ 8.4

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = 1$

ステップ 9

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