代数例

$(5, 1)$ , $(4, 1)$ , $(- 5, 1)$

ステップ 1

双曲線には2つの一般方程式があります。

水平双曲線方程式 $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

垂直双曲線方程式 $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 2

$a$ は、交点 $(4, 1)$ と中心点 $(5, 1)$ 間の距離です。

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ステップ 2.1

距離の公式を利用して2点間の距離を決定します。

$距離 = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

ステップ 2.2

点の実際の値を距離の公式に代入します。

$a = \sqrt{{(4 - 5)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

$4$ から $5$ を引きます。

$a = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

ステップ 2.3.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$a = \sqrt{1 + {(1 - 1)}^{2}}$

ステップ 2.3.3

$1$ から $1$ を引きます。

$a = \sqrt{1 + 0^{2}}$

ステップ 2.3.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$a = \sqrt{1 + 0}$

ステップ 2.3.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$a = \sqrt{1}$

ステップ 2.3.6

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$a = 1$

ステップ 3

$c$ は、焦点 $(- 5, 1)$ と中心 $(5, 1)$ 間の距離です。

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ステップ 3.1

距離の公式を利用して2点間の距離を決定します。

$距離 = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

ステップ 3.2

点の実際の値を距離の公式に代入します。

$c = \sqrt{{((- 5) - 5)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

$- 5$ から $5$ を引きます。

$c = \sqrt{{(- 10)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$- 10$ を $2$ 乗します。

$c = \sqrt{100 + {(1 - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

$1$ から $1$ を引きます。

$c = \sqrt{100 + 0^{2}}$

ステップ 3.3.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$c = \sqrt{100 + 0}$

ステップ 3.3.5

$100$ と $0$ をたし算します。

$c = \sqrt{100}$

ステップ 3.3.6

$100$ を $10^{2}$ に書き換えます。

$c = \sqrt{10^{2}}$

ステップ 3.3.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$c = 10$

ステップ 4

方程式 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ を使う。 $1$ を $a$ に、 $10$ を $c$ に代入します。

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ステップ 4.1

方程式を ${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$ として書き換えます。

${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$

ステップ 4.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + b^{2} = 10^{2}$

ステップ 4.3

$10$ を $2$ 乗します。

$1 + b^{2} = 100$

ステップ 4.4

$b$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.4.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$b^{2} = 100 - 1$

ステップ 4.4.2

$100$ から $1$ を引きます。

$b^{2} = 99$

ステップ 4.5

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$b = \pm \sqrt{99}$

ステップ 4.6

$\pm \sqrt{99}$ を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$99$ を $3^{2} \cdot 11$ に書き換えます。

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ステップ 4.6.1.1

$9$ を $99$ で因数分解します。

$b = \pm \sqrt{9 (11)}$

ステップ 4.6.1.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}$

ステップ 4.6.2

累乗根の下から項を取り出します。

$b = \pm 3 \sqrt{11}$

ステップ 4.7

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.7.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$b = 3 \sqrt{11}$

ステップ 4.7.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$b = - 3 \sqrt{11}$

ステップ 4.7.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}$

ステップ 5

$b$ は距離で、正数である必要があります。

$b = 3 \sqrt{11}$

ステップ 6

焦点 $(- 5, 1)$ と中心 $(5, 1)$ を結ぶ直線の傾きが、双曲線が垂直か水平かを決定します。傾きが $0$ の場合、グラフは水平です。傾きが未定義の場合、グラフは垂直です。

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ステップ 6.1

傾きは、 $x$ の変化に対する $y$ の変化に等しい、または上昇です。

$m = \frac{yの変化}{xの変化}$

ステップ 6.2

$x$ の変化はx座標の差（増加ともいう）に等しく、 $y$ の変化はy座標の差（上昇ともいう）に等しい。

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

ステップ 6.3

方程式の $x$ と $y$ の値に代入し、傾きを求めます。

$m = \frac{1 - (1)}{5 - (- 5)}$

ステップ 6.4

簡約します。

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ステップ 6.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.4.1.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$m = \frac{1 - 1}{5 - (- 5)}$

ステップ 6.4.1.2

$1$ から $1$ を引きます。

$m = \frac{0}{5 - (- 5)}$

ステップ 6.4.2

分母を簡約します。

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ステップ 6.4.2.1

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$m = \frac{0}{5 + 5}$

ステップ 6.4.2.2

$5$ と $5$ をたし算します。

$m = \frac{0}{10}$

ステップ 6.4.3

$0$ を $10$ で割ります。

$m = 0$

ステップ 6.5

水平双曲線の一般方程式は $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ です。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 7

$h = 5$ 、 $k = 1$ 、 $a = 1$ 、および $b = 3 \sqrt{11}$ の値を $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ に代入し、双曲線方程式 $\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$ を得ます。

$\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

ステップ 8

簡約し、双曲線の最後の方程式を求めます。

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ステップ 8.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1^{2}} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

ステップ 8.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

ステップ 8.3

${(x - 5)}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

ステップ 8.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

ステップ 8.5

分母を簡約します。

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ステップ 8.5.1

積の法則を $3 \sqrt{11}$ に当てはめます。

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{3^{2} {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

ステップ 8.5.2

$3$ を $2$ 乗します。

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

ステップ 8.5.3

${\sqrt{11}}^{2}$ を $11$ に書き換えます。

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ステップ 8.5.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{11}$ を $11^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

ステップ 8.5.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

ステップ 8.5.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

ステップ 8.5.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.5.3.4.1

共通因数を約分します。

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

ステップ 8.5.3.4.2

式を書き換えます。

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

ステップ 8.5.3.5

指数を求めます。

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

ステップ 8.6

$9$ に $11$ をかけます。

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{99} = 1$

ステップ 9

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