代数例

(2, 6, - 8)

$(2, 6, - 8)$ ,

(- 12, - 2, - 1)

$(- 12, - 2, - 1)$ ,

(- 2, 8, 9)

$(- 2, 8, 9)$ ,

(3, 0, 0)

$(3, 0, 0)$

ステップ 1

点

C = (- 2, 8, 9)

$C = (- 2, 8, 9)$ と

D = (3, 0, 0)

$D = (3, 0, 0)$ が与えられたとき、点

A = (2, 6, - 8)

$A = (2, 6, - 8)$ と

B = (- 12, - 2, - 1)

$B = (- 12, - 2, - 1)$ を含み、直線

CD

$CD$ と平行な面を求めます。

A = (2, 6, - 8)

$A = (2, 6, - 8)$

B = (- 12, - 2, - 1)

$B = (- 12, - 2, - 1)$

C = (- 2, 8, 9)

$C = (- 2, 8, 9)$

D = (3, 0, 0)

$D = (3, 0, 0)$

ステップ 2

まず、点

C

$C$ と点

D

$D$ を通る直線の方向ベクトルを計算します。これは点

C

$C$ の座標の値をとり、点

D

$D$ から引き算することでできます。

V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

ステップ 3

x

$x$ 、

y

$y$ 、および

z

$z$ 値を置き換え、簡約し、線

CD

$CD$ の方向ベクトル

V_{CD}

$V_{CD}$ を得ます。

V_{CD} = ⟨ 5, - 8, - 9 ⟩

$V_{CD} = ⟨ 5, - 8, - 9 ⟩$

ステップ 4

点

A

$A$ と点

B

$B$ を通る直線の方向ベクトルを同じ方法で計算します。

V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

ステップ 5

x

$x$ 、

y

$y$ 、および

z

$z$ 値を置き換え、簡約し、線

AB

$AB$ の方向ベクトル

V_{AB}

$V_{AB}$ を得ます。

V_{AB} = ⟨ - 14, - 8, 7 ⟩

$V_{AB} = ⟨ - 14, - 8, 7 ⟩$

ステップ 6

解の平面は点

A

$A$ と

B

$B$ を含み、方向ベクトル

V_{A B}

$V_{A B}$ をもつ線を含みます。この平面を直線

C D

$C D$ に平行にするためには、直線

C D

$C D$ の方向ベクトルにも直交する平面の法線ベクトルを求めます。行列

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ の行列式を求めて、外積

V_{A B}

$V_{A B}$ x

V_{C D}

$V_{C D}$ を求めることにより法線ベクトルを求めます。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k - 14 & - 8 & 7 5 & - 8 & - 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ - 14 & - 8 & 7 \\ 5 & - 8 & - 9 \end{array}]$

ステップ 7

行列式を計算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

最大の

0

$0$ 要素を持つ行または列を選択します。

0

$0$ 要素がなければ、いずれかの行または列を選択します。行

1

$1$ の各要素に余因子を乗算して加算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

該当する符号図を考慮します。

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 7.1.2

指数が符号図の

-

$-$ 位置に一致するなら、余因子は符号を変更した小行列式です。

ステップ 7.1.3

a_{11}

$a_{11}$ の小行列式は、行

1

$1$ と列

1

$1$ を削除した行列式です。

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 8 & 7 - 8 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} |$

ステップ 7.1.4

要素

a_{11}

$a_{11}$ にその余因子を掛けます。

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 8 & 7 - 8 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$i | \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} |$

ステップ 7.1.5

a_{12}

$a_{12}$ の小行列式は、行

1

$1$ と列

2

$2$ を削除した行列式です。

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & 7 5 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} |$

ステップ 7.1.6

要素

a_{12}

$a_{12}$ にその余因子を掛けます。

- ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & 7 5 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j

$- | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j$

ステップ 7.1.7

a_{13}

$a_{13}$ の小行列式は、行

1

$1$ と列

3

$3$ を削除した行列式です。

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} |$

ステップ 7.1.8

要素

a_{13}

$a_{13}$ にその余因子を掛けます。

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$| \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

ステップ 7.1.9

項同士を足します。

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 8 & 7 - 8 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & 7 5 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i | \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} | - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 8 & 7 - 8 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & 7 5 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i | \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} | - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

ステップ 7.2

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 8 & 7 - 8 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

2 \times 2

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

i (- 8 \cdot - 9 - (- 8 \cdot 7)) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & 7 5 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 8 \cdot - 9 - (- 8 \cdot 7)) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

ステップ 7.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.1

- 8

$- 8$ に

- 9

$- 9$ をかけます。

i (72 - (- 8 \cdot 7)) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & 7 5 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (72 - (- 8 \cdot 7)) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

ステップ 7.2.2.1.2

- (- 8 \cdot 7)

$- (- 8 \cdot 7)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.2.1

- 8

$- 8$ に

7

$7$ をかけます。

i (72 - - 56) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & 7 5 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (72 - - 56) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

ステップ 7.2.2.1.2.2

- 1

$- 1$ に

- 56

$- 56$ をかけます。

i (72 + 56) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & 7 5 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (72 + 56) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

i (72 + 56) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & 7 5 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (72 + 56) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

i (72 + 56) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & 7 5 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (72 + 56) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

ステップ 7.2.2.2

72

$72$ と

56

$56$ をたし算します。

i \cdot 128 - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & 7 5 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot 128 - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

i \cdot 128 - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & 7 5 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot 128 - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

i \cdot 128 - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & 7 5 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot 128 - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

ステップ 7.3

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & 7 5 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

2 \times 2

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

i \cdot 128 - (- 14 \cdot - 9 - 5 \cdot 7) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot 128 - (- 14 \cdot - 9 - 5 \cdot 7) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

ステップ 7.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1.1

- 14

$- 14$ に

- 9

$- 9$ をかけます。

i \cdot 128 - (126 - 5 \cdot 7) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot 128 - (126 - 5 \cdot 7) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

ステップ 7.3.2.1.2

- 5

$- 5$ に

7

$7$ をかけます。

i \cdot 128 - (126 - 35) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot 128 - (126 - 35) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

i \cdot 128 - (126 - 35) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot 128 - (126 - 35) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

ステップ 7.3.2.2

126

$126$ から

35

$35$ を引きます。

i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

ステップ 7.4

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

2 \times 2

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (- 14 \cdot - 8 - 5 \cdot - 8) k

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (- 14 \cdot - 8 - 5 \cdot - 8) k$

ステップ 7.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1.1

- 14

$- 14$ に

- 8

$- 8$ をかけます。

i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (112 - 5 \cdot - 8) k

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (112 - 5 \cdot - 8) k$

ステップ 7.4.2.1.2

- 5

$- 5$ に

- 8

$- 8$ をかけます。

i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (112 + 40) k

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (112 + 40) k$

i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (112 + 40) k

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (112 + 40) k$

ステップ 7.4.2.2

112

$112$ と

40

$40$ をたし算します。

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + 152 k$

ステップ 7.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

$128$ を

$i$ の左に移動させます。

$128 \cdot i - 1 \cdot 91 j + 152 k$

ステップ 7.5.2

$- 1$ に

$91$ をかけます。

$128 i - 91 j + 152 k$

ステップ 8

平面上にある点

$A$ における式

$(128) x + (- 91) y + (152) z$ を解きます。平面の方程式で定数を計算するために利用します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$128$ に

$2$ をかけます。

$256 + (- 91) \cdot 6 + (152) \cdot - 8$

ステップ 8.1.2

$- 91$ に

$6$ をかけます。

$256 - 546 + (152) \cdot - 8$

ステップ 8.1.3

$152$ に

$- 8$ をかけます。

$256 - 546 - 1216$

ステップ 8.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$256$ から

$546$ を引きます。

$- 290 - 1216$

ステップ 8.2.2

$- 290$ から

$1216$ を引きます。

$- 1506$

ステップ 9

定数を加えて、

$(128) x + (- 91) y + (152) z = - 1506$ になる平面の方程式を求めます。

$(128) x + (- 91) y + (152) z = - 1506$

ステップ 10

$152$ に

$z$ をかけます。

$128 x - 91 y + 152 z = - 1506$

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