代数例

(1, 2, 3)

$(1, 2, 3)$ ,

(2, 5, 6)

$(2, 5, 6)$ ,

(2, 9, 7)

$(2, 9, 7)$ ,

(3, 3, 3)

$(3, 3, 3)$

ステップ 1

点

C = (2, 9, 7)

$C = (2, 9, 7)$ と

D = (3, 3, 3)

$D = (3, 3, 3)$ が与えられたとき、点

A = (1, 2, 3)

$A = (1, 2, 3)$ と

B = (2, 5, 6)

$B = (2, 5, 6)$ を含み、直線

CD

$CD$ と平行な面を求めます。

A = (1, 2, 3)

$A = (1, 2, 3)$

B = (2, 5, 6)

$B = (2, 5, 6)$

C = (2, 9, 7)

$C = (2, 9, 7)$

D = (3, 3, 3)

$D = (3, 3, 3)$

ステップ 2

まず、点

C

$C$ と点

D

$D$ を通る直線の方向ベクトルを計算します。これは点

C

$C$ の座標の値をとり、点

D

$D$ から引き算することでできます。

V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

ステップ 3

x

$x$ 、

y

$y$ 、および

z

$z$ 値を置き換え、簡約し、線

CD

$CD$ の方向ベクトル

V_{CD}

$V_{CD}$ を得ます。

V_{CD} = ⟨ 1, - 6, - 4 ⟩

$V_{CD} = ⟨ 1, - 6, - 4 ⟩$

ステップ 4

点

A

$A$ と点

B

$B$ を通る直線の方向ベクトルを同じ方法で計算します。

V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

ステップ 5

x

$x$ 、

y

$y$ 、および

z

$z$ 値を置き換え、簡約し、線

AB

$AB$ の方向ベクトル

V_{AB}

$V_{AB}$ を得ます。

V_{AB} = ⟨ 1, 3, 3 ⟩

$V_{AB} = ⟨ 1, 3, 3 ⟩$

ステップ 6

解の平面は点

A

$A$ と

B

$B$ を含み、方向ベクトル

V_{A B}

$V_{A B}$ をもつ線を含みます。この平面を直線

C D

$C D$ に平行にするためには、直線

C D

$C D$ の方向ベクトルにも直交する平面の法線ベクトルを求めます。行列

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ の行列式を求めて、外積

V_{A B}

$V_{A B}$ x

V_{C D}

$V_{C D}$ を求めることにより法線ベクトルを求めます。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k 1 & 3 & 3 1 & - 6 & - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ 1 & 3 & 3 \\ 1 & - 6 & - 4 \end{array}]$

ステップ 7

行列式を計算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

最大の

0

$0$ 要素を持つ行または列を選択します。

0

$0$ 要素がなければ、いずれかの行または列を選択します。行

1

$1$ の各要素に余因子を乗算して加算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

該当する符号図を考慮します。

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 7.1.2

指数が符号図の

$-$ 位置に一致するなら、余因子は符号を変更した小行列式です。

ステップ 7.1.3

$a_{11}$ の小行列式は、行

$1$ と列

$1$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} |$

ステップ 7.1.4

要素

$a_{11}$ にその余因子を掛けます。

$i | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} |$

ステップ 7.1.5

$a_{12}$ の小行列式は、行

$1$ と列

$2$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

ステップ 7.1.6

要素

$a_{12}$ にその余因子を掛けます。

$- | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j$

ステップ 7.1.7

$a_{13}$ の小行列式は、行

$1$ と列

$3$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} |$

ステップ 7.1.8

要素

$a_{13}$ にその余因子を掛けます。

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

ステップ 7.1.9

項同士を足します。

$i | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} | - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

ステップ 7.2

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$i (3 \cdot - 4 - (- 6 \cdot 3)) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

ステップ 7.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.1

$3$ に

$- 4$ をかけます。

$i (- 12 - (- 6 \cdot 3)) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

ステップ 7.2.2.1.2

$- (- 6 \cdot 3)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.2.1

$- 6$ に

$3$ をかけます。

$i (- 12 - - 18) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

ステップ 7.2.2.1.2.2

$- 1$ に

$- 18$ をかけます。

$i (- 12 + 18) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

ステップ 7.2.2.2

$- 12$ と

$18$ をたし算します。

$i \cdot 6 - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

ステップ 7.3

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$i \cdot 6 - (1 \cdot - 4 - 1 \cdot 3) j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

ステップ 7.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1.1

$- 4$ に

$1$ をかけます。

$i \cdot 6 - (- 4 - 1 \cdot 3) j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

ステップ 7.3.2.1.2

$- 1$ に

$3$ をかけます。

$i \cdot 6 - (- 4 - 3) j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

ステップ 7.3.2.2

$- 4$ から

$3$ を引きます。

$i \cdot 6 - - 7 j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

ステップ 7.4

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$i \cdot 6 - - 7 j + (1 \cdot - 6 - 1 \cdot 3) k$

ステップ 7.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1.1

$- 6$ に

$1$ をかけます。

$i \cdot 6 - - 7 j + (- 6 - 1 \cdot 3) k$

ステップ 7.4.2.1.2

$- 1$ に

$3$ をかけます。

$i \cdot 6 - - 7 j + (- 6 - 3) k$

ステップ 7.4.2.2

$- 6$ から

$3$ を引きます。

$i \cdot 6 - - 7 j - 9 k$

ステップ 7.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

$6$ を

$i$ の左に移動させます。

$6 \cdot i - - 7 j - 9 k$

ステップ 7.5.2

$- 1$ に

$- 7$ をかけます。

$6 i + 7 j - 9 k$

ステップ 8

平面上にある点

$A$ における式

$(6) x + (7) y + (- 9) z$ を解きます。平面の方程式で定数を計算するために利用します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$6$ に

$1$ をかけます。

$6 + (7) \cdot 2 + (- 9) \cdot 3$

ステップ 8.1.2

$7$ に

$2$ をかけます。

$6 + 14 + (- 9) \cdot 3$

ステップ 8.1.3

$- 9$ に

$3$ をかけます。

$6 + 14 - 27$

ステップ 8.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$6$ と

$14$ をたし算します。

$20 - 27$

ステップ 8.2.2

$20$ から

$27$ を引きます。

$- 7$

ステップ 9

定数を加えて、

$(6) x + (7) y + (- 9) z = - 7$ になる平面の方程式を求めます。

$(6) x + (7) y + (- 9) z = - 7$

ステップ 10

$- 9$ に

$z$ をかけます。

$6 x + 7 y - 9 z = - 7$

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