代数例

$(1, 1, 1)$ , $(1, 2, 3)$ , $(2, 2, 2)$ , $(4, 7, 10)$

ステップ 1

点 $C = (2, 2, 2)$ と $D = (4, 7, 10)$ が与えられたとき、点 $A = (1, 1, 1)$ と $B = (1, 2, 3)$ を含み、直線 $CD$ と平行な面を求めます。

$A = (1, 1, 1)$

$B = (1, 2, 3)$

$C = (2, 2, 2)$

$D = (4, 7, 10)$

ステップ 2

まず、点 $C$ と点 $D$ を通る直線の方向ベクトルを計算します。これは点 $C$ の座標の値をとり、点 $D$ から引き算することでできます。

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

ステップ 3

$x$ 、 $y$ 、および $z$ 値を置き換え、簡約し、線 $CD$ の方向ベクトル $V_{CD}$ を得ます。

$V_{CD} = ⟨ 2, 5, 8 ⟩$

ステップ 4

点 $A$ と点 $B$ を通る直線の方向ベクトルを同じ方法で計算します。

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

ステップ 5

$x$ 、 $y$ 、および $z$ 値を置き換え、簡約し、線 $AB$ の方向ベクトル $V_{AB}$ を得ます。

$V_{AB} = ⟨ 0, 1, 2 ⟩$

ステップ 6

解の平面は点 $A$ と $B$ を含み、方向ベクトル $V_{A B}$ をもつ線を含みます。この平面を直線 $C D$ に平行にするためには、直線 $C D$ の方向ベクトルにも直交する平面の法線ベクトルを求めます。行列 $[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ の行列式を求めて、外積 $V_{A B}$ x $V_{C D}$ を求めることにより法線ベクトルを求めます。

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 5 & 8 \end{array}]$

ステップ 7

行列式を計算します。

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ステップ 7.1

最大の $0$ 要素を持つ行または列を選択します。 $0$ 要素がなければ、いずれかの行または列を選択します。行 $1$ の各要素に余因子を乗算して加算します。

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ステップ 7.1.1

該当する符号図を考慮します。

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 7.1.2

指数が符号図の $-$ 位置に一致するなら、余因子は符号を変更した小行列式です。

ステップ 7.1.3

$a_{11}$ の小行列式は、行 $1$ と列 $1$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} |$

ステップ 7.1.4

要素 $a_{11}$ にその余因子を掛けます。

$i | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} |$

ステップ 7.1.5

$a_{12}$ の小行列式は、行 $1$ と列 $2$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} |$

ステップ 7.1.6

要素 $a_{12}$ にその余因子を掛けます。

$- | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j$

ステップ 7.1.7

$a_{13}$ の小行列式は、行 $1$ と列 $3$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} |$

ステップ 7.1.8

要素 $a_{13}$ にその余因子を掛けます。

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

ステップ 7.1.9

項同士を足します。

$i | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} | - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

ステップ 7.2

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} |$ の値を求めます。

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ステップ 7.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$i (1 \cdot 8 - 5 \cdot 2) - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

ステップ 7.2.2

行列式を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.1

$8$ に $1$ をかけます。

$i (8 - 5 \cdot 2) - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

ステップ 7.2.2.1.2

$- 5$ に $2$ をかけます。

$i (8 - 10) - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

ステップ 7.2.2.2

$8$ から $10$ を引きます。

$i \cdot - 2 - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

ステップ 7.3

$| \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} |$ の値を求めます。

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ステップ 7.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$i \cdot - 2 - (0 \cdot 8 - 2 \cdot 2) j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

ステップ 7.3.2

行列式を簡約します。

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ステップ 7.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1.1

$0$ に $8$ をかけます。

$i \cdot - 2 - (0 - 2 \cdot 2) j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

ステップ 7.3.2.1.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$i \cdot - 2 - (0 - 4) j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

ステップ 7.3.2.2

$0$ から $4$ を引きます。

$i \cdot - 2 - - 4 j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

ステップ 7.4

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} |$ の値を求めます。

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ステップ 7.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$i \cdot - 2 - - 4 j + (0 \cdot 5 - 2 \cdot 1) k$

ステップ 7.4.2

行列式を簡約します。

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ステップ 7.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1.1

$0$ に $5$ をかけます。

$i \cdot - 2 - - 4 j + (0 - 2 \cdot 1) k$

ステップ 7.4.2.1.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$i \cdot - 2 - - 4 j + (0 - 2) k$

ステップ 7.4.2.2

$0$ から $2$ を引きます。

$i \cdot - 2 - - 4 j - 2 k$

ステップ 7.5

各項を簡約します。

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ステップ 7.5.1

$- 2$ を $i$ の左に移動させます。

$- 2 \cdot i - - 4 j - 2 k$

ステップ 7.5.2

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$- 2 i + 4 j - 2 k$

ステップ 8

平面上にある点 $A$ における式 $(- 2) x + (4) y + (- 2) z$ を解きます。平面の方程式で定数を計算するために利用します。

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ステップ 8.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.1.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2 + (4) \cdot 1 + (- 2) \cdot 1$

ステップ 8.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$- 2 + 4 + (- 2) \cdot 1$

ステップ 8.1.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2 + 4 - 2$

ステップ 8.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 8.2.1

$- 2$ と $4$ をたし算します。

$2 - 2$

ステップ 8.2.2

$2$ から $2$ を引きます。

$0$

ステップ 9

定数を加えて、 $(- 2) x + (4) y + (- 2) z = 0$ になる平面の方程式を求めます。

$(- 2) x + (4) y + (- 2) z = 0$

ステップ 10

$- 2$ に $z$ をかけます。

$- 2 x + 4 y - 2 z = 0$

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