代数 例
x-y=4x−y=4 , 4x-y=-54x−y=−5
ステップ 1
点(p,q,r)(p,q,r)を通り平面P1P1ax+by+cz=dax+by+cz=dに垂直な線と平面P2P2ex+fy+gz=hex+fy+gz=hの交点を求めるために：
1. 法線ベクトルがn1=⟨a,b,c⟩n1=⟨a,b,c⟩およびn2=⟨e,f,g⟩n2=⟨e,f,g⟩である平面P1P1および平面P2P2の法線ベクトルを求めます。ドット積が0か確認します。
2. x=p+atx=p+at、y=q+bty=q+bt、z=r+ctz=r+ctなどの媒介変数方程式の集合を作成します。
3. これらの方程式をe(p+at)+f(q+bt)+g(r+ct)=he(p+at)+f(q+bt)+g(r+ct)=hであるような平面P2P2の方程式に代入し、ttを解きます。
4. ttの値を利用してttについて、媒介変数方程式x=p+atx=p+at、y=q+bty=q+bt、およびz=r+ctz=r+ctを解き、交点(x,y,z)(x,y,z)を求めます。
ステップ 2
ステップ 2.1
P1P1はx-y=4x−y=4です。式ax+by+cz=dax+by+cz=d平面の方程式から法線ベクトルn1=⟨a,b,c⟩n1=⟨a,b,c⟩を求めます。
n1=⟨1,-1,0⟩n1=⟨1,−1,0⟩
ステップ 2.2
P2P2は4x-y=-54x−y=−5です。式ex+fy+gz=hex+fy+gz=h平面の方程式から法線ベクトルn2=⟨e,f,g⟩n2=⟨e,f,g⟩を求めます。
n2=⟨4,-1,0⟩n2=⟨4,−1,0⟩
ステップ 2.3
n1n1とn2n2のドット積を、法線ベクトルの対応するxx、yy、zzの値の積を合計し計算します。
1⋅4-1⋅-1+0⋅01⋅4−1⋅−1+0⋅0
ステップ 2.4
ドット積を簡約します。
ステップ 2.4.1
括弧を削除します。
1⋅4-1⋅-1+0⋅01⋅4−1⋅−1+0⋅0
ステップ 2.4.2
各項を簡約します。
ステップ 2.4.2.1
44に11をかけます。
4-1⋅-1+0⋅04−1⋅−1+0⋅0
ステップ 2.4.2.2
-1−1に-1−1をかけます。
4+1+0⋅04+1+0⋅0
ステップ 2.4.2.3
00に00をかけます。
4+1+04+1+0
4+1+04+1+0
ステップ 2.4.3
数を加えて簡約します。
ステップ 2.4.3.1
44と11をたし算します。
5+05+0
ステップ 2.4.3.2
55と00をたし算します。
55
55
55
55
ステップ 3
次に、点(p,q,r)(p,q,r)に対する原点(0,0,0)(0,0,0)と、aa、bb、およびccの値に対する法線ベクトル55の値を利用して媒介変数方程式x=p+atx=p+at、y=q+bty=q+bt、およびz=r+ctz=r+ctの集合を作成します。この媒介変数方程式の集合、P1P1x-y=4x−y=4に垂直な原点を通る線を表します。
x=0+1⋅tx=0+1⋅t
y=0+-1⋅ty=0+−1⋅t
z=0+0⋅tz=0+0⋅t
ステップ 4
xx、yy、およびzzの値を標準形の方程式P2P2 4x-y=-54x−y=−5に代入します。
4(0+1⋅t)-(0-1⋅t)=-54(0+1⋅t)−(0−1⋅t)=−5
ステップ 5
ステップ 5.1
4(0+1⋅t)-(0-1⋅t)4(0+1⋅t)−(0−1⋅t)を簡約します。
ステップ 5.1.1
4(0+1⋅t)-(0-1⋅t)4(0+1⋅t)−(0−1⋅t)の反対側の項を組み合わせます。
ステップ 5.1.1.1
00と1⋅t1⋅tをたし算します。
4(1⋅t)-(0-1⋅t)=-54(1⋅t)−(0−1⋅t)=−5
ステップ 5.1.1.2
00から1⋅t1⋅tを引きます。
4(1⋅t)-(-1⋅t)=-54(1⋅t)−(−1⋅t)=−5
4(1⋅t)-(-1⋅t)=-54(1⋅t)−(−1⋅t)=−5
ステップ 5.1.2
各項を簡約します。
ステップ 5.1.2.1
ttに11をかけます。
4t-(-1⋅t)=-54t−(−1⋅t)=−5
ステップ 5.1.2.2
-1t−1tを-t−tに書き換えます。
4t--t=-54t−−t=−5
ステップ 5.1.2.3
--t−−tを掛けます。
ステップ 5.1.2.3.1
-1−1に-1−1をかけます。
4t+1t=-54t+1t=−5
ステップ 5.1.2.3.2
ttに11をかけます。
4t+t=-54t+t=−5
4t+t=-54t+t=−5
4t+t=-54t+t=−5
ステップ 5.1.3
4t4tとttをたし算します。
5t=-55t=−5
5t=-55t=−5
ステップ 5.2
5t=-55t=−5の各項を55で割り、簡約します。
ステップ 5.2.1
5t=-55t=−5の各項を55で割ります。
5t5=-555t5=−55
ステップ 5.2.2
左辺を簡約します。
ステップ 5.2.2.1
55の共通因数を約分します。
ステップ 5.2.2.1.1
共通因数を約分します。
5t5=-55
ステップ 5.2.2.1.2
tを1で割ります。
t=-55
t=-55
t=-55
ステップ 5.2.3
右辺を簡約します。
ステップ 5.2.3.1
-5を5で割ります。
t=-1
t=-1
t=-1
t=-1
ステップ 6
ステップ 6.1
xについて方程式を解きます。
ステップ 6.1.1
括弧を削除します。
x=0+1⋅(-1)
ステップ 6.1.2
0+1⋅(-1)を簡約します。
ステップ 6.1.2.1
-1に1をかけます。
x=0-1
ステップ 6.1.2.2
0から1を引きます。
x=-1
x=-1
x=-1
ステップ 6.2
yについて方程式を解きます。
ステップ 6.2.1
括弧を削除します。
y=0-1⋅-1
ステップ 6.2.2
0-1⋅-1を簡約します。
ステップ 6.2.2.1
-1に-1をかけます。
y=0+1
ステップ 6.2.2.2
0と1をたし算します。
y=1
y=1
y=1
ステップ 6.3
zについて方程式を解きます。
ステップ 6.3.1
括弧を削除します。
z=0+0⋅(-1)
ステップ 6.3.2
0+0⋅(-1)を簡約します。
ステップ 6.3.2.1
0に-1をかけます。
z=0+0
ステップ 6.3.2.2
0と0をたし算します。
z=0
z=0
z=0
ステップ 6.4
x、y、およびzについて解いた媒介変数方程式です。
x=-1
y=1
z=0
x=-1
y=1
z=0
ステップ 7
x、y、およびzを計算した値を利用すると、交点は(-1,1,0)であることがわかります。
(-1,1,0)
