代数例

4 x - y = 2

$4 x - y = 2$ ,

6 x - 2 y = - 1

$6 x - 2 y = - 1$

ステップ 1

点

(p, q, r)

$(p, q, r)$ を通り平面

P_{1}

$P_{1}$

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ に垂直な線と平面

P_{2}

$P_{2}$

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ の交点を求めるために：

1. 法線ベクトルが

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ および

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ である平面

P_{1}

$P_{1}$ および平面

P_{2}

$P_{2}$ の法線ベクトルを求めます。ドット積が0か確認します。

x = p + a t

$x = p + a t$ 、

y = q + b t

$y = q + b t$ 、

z = r + c t

$z = r + c t$ などの媒介変数方程式の集合を作成します。

3. これらの方程式を

e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h

$e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ であるような平面

P_{2}

$P_{2}$ の方程式に代入し、

t

$t$ を解きます。

t

$t$ の値を利用して

t

$t$ について、媒介変数方程式

x = p + a t

$x = p + a t$ 、

y = q + b t

$y = q + b t$ 、および

z = r + c t

$z = r + c t$ を解き、交点

(x, y, z)

$(x, y, z)$ を求めます。

ステップ 2

各面の法線ベクトルを求め、そのドット積を計算して垂直かどうかを判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

P_{1}

$P_{1}$ は

4 x - y = 2

$4 x - y = 2$ です。式

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ 平面の方程式から法線ベクトル

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ を求めます。

n_{1} = ⟨ 4, - 1, 0 ⟩

$n_{1} = ⟨ 4, - 1, 0 ⟩$

ステップ 2.2

P_{2}

$P_{2}$ は

6 x - 2 y = - 1

$6 x - 2 y = - 1$ です。式

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ 平面の方程式から法線ベクトル

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ を求めます。

n_{2} = ⟨ 6, - 2, 0 ⟩

$n_{2} = ⟨ 6, - 2, 0 ⟩$

ステップ 2.3

n_{1}

$n_{1}$ と

n_{2}

$n_{2}$ のドット積を、法線ベクトルの対応する

x

$x$ 、

y

$y$ 、

z

$z$ の値の積を合計し計算します。

4 \cdot 6 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0

$4 \cdot 6 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

ステップ 2.4

ドット積を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

括弧を削除します。

4 \cdot 6 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0

$4 \cdot 6 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

ステップ 2.4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

4

$4$ に

6

$6$ をかけます。

24 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0

$24 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

ステップ 2.4.2.2

- 1

$- 1$ に

- 2

$- 2$ をかけます。

24 + 2 + 0 \cdot 0

$24 + 2 + 0 \cdot 0$

ステップ 2.4.2.3

0

$0$ に

0

$0$ をかけます。

24 + 2 + 0

$24 + 2 + 0$

24 + 2 + 0

$24 + 2 + 0$

ステップ 2.4.3

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1

24

$24$ と

2

$2$ をたし算します。

26 + 0

$26 + 0$

ステップ 2.4.3.2

26

$26$ と

0

$0$ をたし算します。

26

$26$

26

$26$

26

$26$

26

$26$

ステップ 3

次に、点

(p, q, r)

$(p, q, r)$ に対する原点

(0, 0, 0)

$(0, 0, 0)$ と、

a

$a$ 、

b

$b$ 、および

c

$c$ の値に対する法線ベクトル

26

$26$ の値を利用して媒介変数方程式

x = p + a t

$x = p + a t$ 、

y = q + b t

$y = q + b t$ 、および

z = r + c t

$z = r + c t$ の集合を作成します。この媒介変数方程式の集合、

P_{1}

$P_{1}$

4 x - y = 2

$4 x - y = 2$ に垂直な原点を通る線を表します。

x = 0 + 4 \cdot t

$x = 0 + 4 \cdot t$

y = 0 + - 1 \cdot t

$y = 0 + - 1 \cdot t$

z = 0 + 0 \cdot t

$z = 0 + 0 \cdot t$

ステップ 4

x

$x$ 、

y

$y$ 、および

z

$z$ の値を標準形の方程式

P_{2}

$P_{2}$

6 x - 2 y = - 1

$6 x - 2 y = - 1$ に代入します。

6 (0 + 4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 1

$6 (0 + 4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 1$

ステップ 5

t

$t$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

6 (0 + 4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)

$6 (0 + 4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

6 (0 + 4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)

$6 (0 + 4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

0

$0$ と

4 \cdot t

$4 \cdot t$ をたし算します。

6 (4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 1

$6 (4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 1$

ステップ 5.1.1.2

0

$0$ から

1 \cdot t

$1 \cdot t$ を引きます。

6 (4 \cdot t) - 2 (- 1 \cdot t) = - 1

$6 (4 \cdot t) - 2 (- 1 \cdot t) = - 1$

6 (4 \cdot t) - 2 (- 1 \cdot t) = - 1

$6 (4 \cdot t) - 2 (- 1 \cdot t) = - 1$

ステップ 5.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

4

$4$ に

6

$6$ をかけます。

24 t - 2 (- 1 \cdot t) = - 1

$24 t - 2 (- 1 \cdot t) = - 1$

ステップ 5.1.2.2

- 1 t

$- 1 t$ を

- t

$- t$ に書き換えます。

24 t - 2 (- t) = - 1

$24 t - 2 (- t) = - 1$

ステップ 5.1.2.3

- 1

$- 1$ に

- 2

$- 2$ をかけます。

24 t + 2 t = - 1

$24 t + 2 t = - 1$

24 t + 2 t = - 1

$24 t + 2 t = - 1$

ステップ 5.1.3

24 t

$24 t$ と

2 t

$2 t$ をたし算します。

26 t = - 1

$26 t = - 1$

26 t = - 1

$26 t = - 1$

ステップ 5.2

26 t = - 1

$26 t = - 1$ の各項を

26

$26$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

26 t = - 1

$26 t = - 1$ の各項を

26

$26$ で割ります。

\frac{26 t}{26} = \frac{- 1}{26}

$\frac{26 t}{26} = \frac{- 1}{26}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

26

$26$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

\frac{26 t}{26} = \frac{- 1}{26}

$\frac{26 t}{26} = \frac{- 1}{26}$

ステップ 5.2.2.1.2

t

$t$ を

1

$1$ で割ります。

t = \frac{- 1}{26}

$t = \frac{- 1}{26}$

t = \frac{- 1}{26}

$t = \frac{- 1}{26}$

t = \frac{- 1}{26}

$t = \frac{- 1}{26}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

t = - \frac{1}{26}

$t = - \frac{1}{26}$

t = - \frac{1}{26}

$t = - \frac{1}{26}$

t = - \frac{1}{26}

$t = - \frac{1}{26}$

t = - \frac{1}{26}

$t = - \frac{1}{26}$

ステップ 6

t

$t$ の値を利用して

x

$x$ 、

y

$y$ 、および

z

$z$ について媒介変数方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

x

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

括弧を削除します。

x = 0 + 4 \cdot (- 1 (\frac{1}{26}))

$x = 0 + 4 \cdot (- 1 (\frac{1}{26}))$

ステップ 6.1.2

括弧を削除します。

x = 0 + 4 \cdot (- \frac{1}{26})

$x = 0 + 4 \cdot (- \frac{1}{26})$

ステップ 6.1.3

0 + 4 \cdot (- \frac{1}{26})

$0 + 4 \cdot (- \frac{1}{26})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1.1

2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1.1.1

- \frac{1}{26}

$- \frac{1}{26}$ の先頭の負を分子に移動させます。

x = 0 + 4 \cdot \frac{- 1}{26}

$x = 0 + 4 \cdot \frac{- 1}{26}$

ステップ 6.1.3.1.1.2

2

$2$ を

4

$4$ で因数分解します。

x = 0 + 2 (2) \cdot \frac{- 1}{26}

$x = 0 + 2 (2) \cdot \frac{- 1}{26}$

ステップ 6.1.3.1.1.3

2

$2$ を

26

$26$ で因数分解します。

x = 0 + 2 \cdot 2 \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 13}

$x = 0 + 2 \cdot 2 \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 13}$

ステップ 6.1.3.1.1.4

共通因数を約分します。

x = 0 + 2 \cdot 2 \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 13}

$x = 0 + 2 \cdot 2 \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 13}$

ステップ 6.1.3.1.1.5

式を書き換えます。

x = 0 + 2 \cdot \frac{- 1}{13}

$x = 0 + 2 \cdot \frac{- 1}{13}$

x = 0 + 2 \cdot \frac{- 1}{13}

$x = 0 + 2 \cdot \frac{- 1}{13}$

ステップ 6.1.3.1.2

2

$2$ と

\frac{- 1}{13}

$\frac{- 1}{13}$ をまとめます。

x = 0 + \frac{2 \cdot - 1}{13}

$x = 0 + \frac{2 \cdot - 1}{13}$

ステップ 6.1.3.1.3

2

$2$ に

- 1

$- 1$ をかけます。

x = 0 + \frac{- 2}{13}

$x = 0 + \frac{- 2}{13}$

ステップ 6.1.3.1.4

分数の前に負数を移動させます。

x = 0 - \frac{2}{13}

$x = 0 - \frac{2}{13}$

x = 0 - \frac{2}{13}

$x = 0 - \frac{2}{13}$

ステップ 6.1.3.2

0

$0$ から

\frac{2}{13}

$\frac{2}{13}$ を引きます。

x = - \frac{2}{13}

$x = - \frac{2}{13}$

x = - \frac{2}{13}

$x = - \frac{2}{13}$

x = - \frac{2}{13}

$x = - \frac{2}{13}$

ステップ 6.2

y

$y$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

括弧を削除します。

y = 0 - 1 \cdot (- 1 (\frac{1}{26}))

$y = 0 - 1 \cdot (- 1 (\frac{1}{26}))$

ステップ 6.2.2

括弧を削除します。

y = 0 - 1 \cdot (- \frac{1}{26})

$y = 0 - 1 \cdot (- \frac{1}{26})$

ステップ 6.2.3

0 - 1 \cdot (- \frac{1}{26})

$0 - 1 \cdot (- \frac{1}{26})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

- 1 (- \frac{1}{26})

$- 1 (- \frac{1}{26})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1.1

- 1

$- 1$ に

- 1

$- 1$ をかけます。

y = 0 + 1 (\frac{1}{26})

$y = 0 + 1 (\frac{1}{26})$

ステップ 6.2.3.1.2

\frac{1}{26}

$\frac{1}{26}$ に

1

$1$ をかけます。

y = 0 + \frac{1}{26}

$y = 0 + \frac{1}{26}$

y = 0 + \frac{1}{26}

$y = 0 + \frac{1}{26}$

ステップ 6.2.3.2

0

$0$ と

\frac{1}{26}

$\frac{1}{26}$ をたし算します。

y = \frac{1}{26}

$y = \frac{1}{26}$

y = \frac{1}{26}

$y = \frac{1}{26}$

y = \frac{1}{26}

$y = \frac{1}{26}$

ステップ 6.3

z

$z$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

括弧を削除します。

z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{1}{26}))

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{1}{26}))$

ステップ 6.3.2

括弧を削除します。

z = 0 + 0 \cdot (- \frac{1}{26})

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{1}{26})$

ステップ 6.3.3

0 + 0 \cdot (- \frac{1}{26})

$0 + 0 \cdot (- \frac{1}{26})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

0 (- \frac{1}{26})

$0 (- \frac{1}{26})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1.1

- 1

$- 1$ に

0

$0$ をかけます。

z = 0 + 0 (\frac{1}{26})

$z = 0 + 0 (\frac{1}{26})$

ステップ 6.3.3.1.2

0

$0$ に

\frac{1}{26}

$\frac{1}{26}$ をかけます。

z = 0 + 0

$z = 0 + 0$

z = 0 + 0

$z = 0 + 0$

ステップ 6.3.3.2

0

$0$ と

0

$0$ をたし算します。

z = 0

$z = 0$

z = 0

$z = 0$

z = 0

$z = 0$

ステップ 6.4

x

$x$ 、

y

$y$ 、および

z

$z$ について解いた媒介変数方程式です。

x = - \frac{2}{13}

$x = - \frac{2}{13}$

y = \frac{1}{26}

$y = \frac{1}{26}$

z = 0

$z = 0$

x = - \frac{2}{13}

$x = - \frac{2}{13}$

y = \frac{1}{26}

$y = \frac{1}{26}$

z = 0

$z = 0$

ステップ 7

x

$x$ 、

y

$y$ 、および

z

$z$ を計算した値を利用すると、交点は

(- \frac{2}{13}, \frac{1}{26}, 0)

$(- \frac{2}{13}, \frac{1}{26}, 0)$ であることがわかります。

(- \frac{2}{13}, \frac{1}{26}, 0)

$(- \frac{2}{13}, \frac{1}{26}, 0)$

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代数 例

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