微分積分例

$\int 6 {(2 x - 1)}^{- 3} d x$ , $u = 2 x - 1$

ステップ 1

$u = 2 x - 1$ とします。次に $d u = 2 d x$ 。 $u$ と $d u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 2 x - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$2 x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{3}{u^{3}} d u$

ステップ 2

$3$ は $u$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int \frac{1}{u^{3}} d u$

ステップ 3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 3.1

$u^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$3 \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

ステップ 3.2

${(u^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 \int u^{3 \cdot - 1} d u$

ステップ 3.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$3 \int u^{- 3} d u$

ステップ 4

べき乗則では、 $u^{- 3}$ の $u$ に関する積分は $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ です。

$3 (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

簡約します。

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ステップ 5.1.1

$u^{- 2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$3 (- \frac{u^{- 2}}{2} + C)$

ステップ 5.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $u^{- 2}$ を分母に移動させます。

$3 (- \frac{1}{2 u^{2}} + C)$

ステップ 5.2

簡約します。

$3 (- \frac{1}{2 u^{2}}) + C$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 \frac{1}{2 u^{2}} + C$

ステップ 5.3.2

$- 3$ と $\frac{1}{2 u^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 3}{2 u^{2}} + C$

ステップ 5.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{2 u^{2}} + C$

ステップ 6

$u$ のすべての発生を $2 x - 1$ で置き換えます。

$- \frac{3}{2 {(2 x - 1)}^{2}} + C$

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