Trigonometria Esempi

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 4 \\ c = \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 75 \\ B = & 20 \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Passaggio 1

Il teorema dei seni si basa sulla proporzionalità dei lati e degli angoli nei triangoli. Secondo il teorema, per gli angoli di un triangolo non rettangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto resta costante.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 2

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $a$ .

$\frac{\sin (75)}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Il valore esatto di $\sin (75)$ è $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Dividi $75$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$\frac{\sin (30 + 45)}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Passaggio 3.1.1.2

Applica le formule di addizione degli angoli.

$\frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Passaggio 3.1.1.3

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Passaggio 3.1.1.4

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Passaggio 3.1.1.5

Il valore esatto di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Passaggio 3.1.1.6

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Passaggio 3.1.1.7

Semplifica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.7.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.7.1.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Passaggio 3.1.1.7.1.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Passaggio 3.1.1.7.1.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.7.1.2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Passaggio 3.1.1.7.1.2.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Passaggio 3.1.1.7.1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Passaggio 3.1.1.7.1.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Passaggio 3.1.1.7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ per $\frac{1}{a}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Passaggio 3.1.4

Calcola $\sin (20)$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} = \frac{0.34202014}{4}$

Passaggio 3.1.5

Dividi $0.34202014$ per $4$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} = 0.08550503$

Passaggio 3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$4 a, 1$

Passaggio 3.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$4 a$

Passaggio 3.3

Moltiplica per $4 a$ ciascun termine in $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} = 0.08550503$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} = 0.08550503$ per $4 a$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} (4 a) = 0.08550503 (4 a)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} a = 0.08550503 (4 a)$

Passaggio 3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $4 a$ .

$4 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 (a)} a = 0.08550503 (4 a)$

Passaggio 3.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} a = 0.08550503 (4 a)$

Passaggio 3.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{a} a = 0.08550503 (4 a)$

Passaggio 3.3.2.3

Elimina il fattore comune di $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{a} a = 0.08550503 (4 a)$

Passaggio 3.3.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{2} + \sqrt{6} = 0.08550503 (4 a)$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Moltiplica $4$ per $0.08550503$ .

$\sqrt{2} + \sqrt{6} = 0.34202014 a$

Passaggio 3.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $0.34202014 a = \sqrt{2} + \sqrt{6}$ .

$0.34202014 a = \sqrt{2} + \sqrt{6}$

Passaggio 3.4.2

Dividi per $0.34202014$ ciascun termine in $0.34202014 a = \sqrt{2} + \sqrt{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Dividi per $0.34202014$ ciascun termine in $0.34202014 a = \sqrt{2} + \sqrt{6}$ .

$\frac{0.34202014 a}{0.34202014} = \frac{\sqrt{2}}{0.34202014} + \frac{\sqrt{6}}{0.34202014}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $0.34202014$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.34202014 a}{0.34202014} = \frac{\sqrt{2}}{0.34202014} + \frac{\sqrt{6}}{0.34202014}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2

Dividi $a$ per $1$ .

$a = \frac{\sqrt{2}}{0.34202014} + \frac{\sqrt{6}}{0.34202014}$

Passaggio 3.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1.1

Calcola la radice.

$a = \frac{1.41421356}{0.34202014} + \frac{\sqrt{6}}{0.34202014}$

Passaggio 3.4.2.3.1.2

Dividi $1.41421356$ per $0.34202014$ .

$a = 4.13488383 + \frac{\sqrt{6}}{0.34202014}$

Passaggio 3.4.2.3.1.3

Calcola la radice.

$a = 4.13488383 + \frac{2.44948974}{0.34202014}$

Passaggio 3.4.2.3.1.4

Dividi $2.44948974$ per $0.34202014$ .

$a = 4.13488383 + 7.16182888$

Passaggio 3.4.2.3.2

Somma $4.13488383$ e $7.16182888$ .

$a = 11.29671272$

Passaggio 4

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$75 + C + 20 = 180$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Somma $75$ e $20$ .

$C + 95 = 180$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $95$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = 180 - 95$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $95$ da $180$ .

$C = 85$

Passaggio 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 7

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $c$ .

$\frac{\sin (85)}{c} = \frac{\sin (75)}{11.29671272}$

Passaggio 8

Risolvi l'equazione per $c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Calcola $\sin (85)$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\sin (75)}{11.29671272}$

Passaggio 8.1.2

Il valore esatto di $\sin (75)$ è $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.1

Dividi $75$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\sin (30 + 45)}{11.29671272}$

Passaggio 8.1.2.2

Applica le formule di addizione degli angoli.

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{11.29671272}$

Passaggio 8.1.2.3

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{11.29671272}$

Passaggio 8.1.2.4

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{11.29671272}$

Passaggio 8.1.2.5

Il valore esatto di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{11.29671272}$

Passaggio 8.1.2.6

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{11.29671272}$

Passaggio 8.1.2.7

Semplifica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.7.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.7.1.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{11.29671272}$

Passaggio 8.1.2.7.1.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{11.29671272}$

Passaggio 8.1.2.7.1.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.7.1.2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{11.29671272}$

Passaggio 8.1.2.7.1.2.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{11.29671272}$

Passaggio 8.1.2.7.1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{11.29671272}$

Passaggio 8.1.2.7.1.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{11.29671272}$

Passaggio 8.1.2.7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{11.29671272}$

Passaggio 8.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{11.29671272}$

Passaggio 8.1.4

Dividi $1$ per $11.29671272$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot 0.08852132$

Passaggio 8.1.5

Moltiplica $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot 0.08852132$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.5.1

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ e $0.08852132$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) \cdot 0.08852132}{4}$

Passaggio 8.1.5.2

Moltiplica $\sqrt{2} + \sqrt{6}$ per $0.08852132$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{0.34202014}{4}$

Passaggio 8.1.6

Dividi $0.34202014$ per $4$ .

$\frac{0.99619469}{c} = 0.08550503$

Passaggio 8.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$c, 1$

Passaggio 8.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$c$

Passaggio 8.3

Moltiplica per $c$ ciascun termine in $\frac{0.99619469}{c} = 0.08550503$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{0.99619469}{c} = 0.08550503$ per $c$ .

$\frac{0.99619469}{c} c = 0.08550503 c$

Passaggio 8.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Elimina il fattore comune di $c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.99619469}{c} c = 0.08550503 c$

Passaggio 8.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$0.99619469 = 0.08550503 c$

Passaggio 8.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Riscrivi l'equazione come $0.08550503 c = 0.99619469$ .

$0.08550503 c = 0.99619469$

Passaggio 8.4.2

Dividi per $0.08550503$ ciascun termine in $0.08550503 c = 0.99619469$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1

Dividi per $0.08550503$ ciascun termine in $0.08550503 c = 0.99619469$ .

$\frac{0.08550503 c}{0.08550503} = \frac{0.99619469}{0.08550503}$

Passaggio 8.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $0.08550503$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.08550503 c}{0.08550503} = \frac{0.99619469}{0.08550503}$

Passaggio 8.4.2.2.1.2

Dividi $c$ per $1$ .

$c = \frac{0.99619469}{0.08550503}$

Passaggio 8.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.3.1

Dividi $0.99619469$ per $0.08550503$ .

$c = 11.65071376$