Trigonometria Esempi

$5 \sin (t) + 5 \cos (t) = - 5$

Passaggio 1

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(5 \sin (t) + 5 \cos (t))}^{2} = {(- 5)}^{2}$

Passaggio 2

Semplifica ${(5 \sin (t) + 5 \cos (t))}^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Riscrivi ${(5 \sin (t) + 5 \cos (t))}^{2}$ come $(5 \sin (t) + 5 \cos (t)) (5 \sin (t) + 5 \cos (t))$ .

$(5 \sin (t) + 5 \cos (t)) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Passaggio 2.2

Espandi $(5 \sin (t) + 5 \cos (t)) (5 \sin (t) + 5 \cos (t))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 \sin (t) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$5 \sin (t) (5 \sin (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Passaggio 2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$5 \sin (t) (5 \sin (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica $5 \sin (t) (5 \sin (t))$ .

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Passaggio 2.3.1.1.1

Moltiplica $5$ per $5$ .

$25 \sin (t) \sin (t) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Passaggio 2.3.1.1.2

Eleva $\sin (t)$ alla potenza di $1$ .

$25 (\sin^{1} (t) \sin (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Passaggio 2.3.1.1.3

Eleva $\sin (t)$ alla potenza di $1$ .

$25 (\sin^{1} (t) \sin^{1} (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Passaggio 2.3.1.1.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$25 {\sin (t)}^{1 + 1} + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Passaggio 2.3.1.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$25 \sin^{2} (t) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $5$ per $5$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Passaggio 2.3.1.3

Moltiplica $5$ per $5$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $5 \cos (t) (5 \cos (t))$ .

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Passaggio 2.3.1.4.1

Moltiplica $5$ per $5$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos (t) \cos (t) = {(- 5)}^{2}$

Passaggio 2.3.1.4.2

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 (\cos^{1} (t) \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Passaggio 2.3.1.4.3

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) = {(- 5)}^{2}$

Passaggio 2.3.1.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 {\cos (t)}^{1 + 1} = {(- 5)}^{2}$

Passaggio 2.3.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos^{2} (t) = {(- 5)}^{2}$

Passaggio 2.3.2

Riordina i fattori di $25 \sin (t) \cos (t)$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos^{2} (t) = {(- 5)}^{2}$

Passaggio 2.3.3

Somma $25 \cos (t) \sin (t)$ e $25 \cos (t) \sin (t)$ .

$25 \sin^{2} (t) + 50 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos^{2} (t) = {(- 5)}^{2}$

Passaggio 2.4

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 2.4.1

Sposta $25 \cos^{2} (t)$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \cos^{2} (t) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Passaggio 2.4.2

Scomponi $25$ da $25 \sin^{2} (t)$ .

$25 (\sin^{2} (t)) + 25 \cos^{2} (t) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Passaggio 2.4.3

Scomponi $25$ da $25 \cos^{2} (t)$ .

$25 (\sin^{2} (t)) + 25 (\cos^{2} (t)) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Passaggio 2.4.4

Scomponi $25$ da $25 (\sin^{2} (t)) + 25 (\cos^{2} (t))$ .

$25 (\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Passaggio 2.5

Applica l'identità pitagorica.

$25 \cdot 1 + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Passaggio 2.6

Moltiplica $25$ per $1$ .

$25 + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Passaggio 3

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$25 + 50 \cos (t) \sin (t) = 25$

Passaggio 4

Sposta tutti i termini non contenenti $t$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Sottrai $25$ da entrambi i lati dell'equazione.

$50 \cos (t) \sin (t) = 25 - 25$

Passaggio 4.2

Sottrai $25$ da $25$ .

$50 \cos (t) \sin (t) = 0$

Passaggio 5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos (t) = 0$

$\sin (t) = 0$

Passaggio 6

Imposta $\cos (t)$ uguale a $0$ e risolvi per $t$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $\cos (t)$ uguale a $0$ .

$\cos (t) = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $\cos (t) = 0$ per $t$ .

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Passaggio 6.2.1

Trova il valore dell'incognita $t$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$t = \arccos (0)$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.2.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$t = \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$t = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 6.2.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$t = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.4.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 6.2.4.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$t = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$t = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 6.2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$t = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 6.2.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$t = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 6.2.5

Trova il periodo di $\cos (t)$ .

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Passaggio 6.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 6.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 6.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 6.2.6

Il periodo della funzione $\cos (t)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

Imposta $\sin (t)$ uguale a $0$ e risolvi per $t$ .

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Passaggio 7.1

Imposta $\sin (t)$ uguale a $0$ .

$\sin (t) = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi $\sin (t) = 0$ per $t$ .

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Passaggio 7.2.1

Trova il valore dell'incognita $t$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$t = \arcsin (0)$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$t = 0$

Passaggio 7.2.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$t = π - 0$

Passaggio 7.2.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$t = π$

Passaggio 7.2.5

Trova il periodo di $\sin (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 7.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 7.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 7.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 7.2.6

Il periodo della funzione $\sin (t)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$t = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $50 \cos (t) \sin (t) = 0$ vera.

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

Consolida le risposte.

$t = \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10

Verifica ciascuna delle soluzioni sostituendole in $5 \sin (t) + 5 \cos (t) = - 5$ e risolvendo.

$t = π + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$