Trigonometria Esempi

$f (x) = 8 \cos^{2} (x) - 4$

Passaggio 1

Trova le intercette di x.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per trovare l'intercetta di x, sostituisci $y$ con $0$ e risolvi per $x$ .

$0 = 8 \cos^{2} (x) - 4$

Passaggio 1.2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi l'equazione come $8 \cos^{2} (x) - 4 = 0$ .

$8 \cos^{2} (x) - 4 = 0$

Passaggio 1.2.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$8 \cos^{2} (x) = 4$

Passaggio 1.2.3

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 \cos^{2} (x) = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 \cos^{2} (x) = 4$ .

$\frac{8 \cos^{2} (x)}{8} = \frac{4}{8}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 \cos^{2} (x)}{8} = \frac{4}{8}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Dividi $\cos^{2} (x)$ per $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{4}{8}$

Passaggio 1.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1

Elimina il fattore comune di $4$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{4 (1)}{8}$

Passaggio 1.2.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\cos^{2} (x) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.2.5

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{2}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 1.2.5.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Passaggio 1.2.5.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 1.2.5.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 1.2.5.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 1.2.5.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 1.2.5.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 1.2.5.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 1.2.5.4.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.2.5.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 1.2.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.2.5.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.2.5.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 1.2.5.4.6.5

Calcola l'esponente.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 1.2.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 1.2.6.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 1.2.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 1.2.7

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 1.2.8

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 1.2.8.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.2.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ è $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 1.2.8.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Passaggio 1.2.8.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 1.2.8.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.4.2.1

$2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 1.2.8.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 1.2.8.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.4.3.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Passaggio 1.2.8.4.3.2

Sottrai $π$ da $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Passaggio 1.2.8.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 1.2.8.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 1.2.8.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 1.2.8.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 1.2.8.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.2.9

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 1.2.9.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.2.1

Il valore esatto di $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ è $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 1.2.9.3

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Passaggio 1.2.9.4

Semplifica $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Passaggio 1.2.9.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.4.2.1

$2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Passaggio 1.2.9.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Passaggio 1.2.9.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.4.3.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Passaggio 1.2.9.4.3.2

Sottrai $3 π$ da $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 1.2.9.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 1.2.9.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 1.2.9.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 1.2.9.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 1.2.9.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.2.10

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.2.11

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.3

intercetta(e) di x in forma punto.

intercetta(e) di x: $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, 0)$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2

Trova le intercette di y.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per trovare l'intercetta di y, sostituisci $x$ con $0$ e risolvi per $y$ .

$y = 8 \cos^{2} (0) - 4$

Passaggio 2.2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 8 \cos^{2} (0) - 4$

Passaggio 2.2.2

Semplifica $8 \cos^{2} (0) - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$y = 8 \cdot 1^{2} - 4$

Passaggio 2.2.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = 8 \cdot 1 - 4$

Passaggio 2.2.2.1.3

Moltiplica $8$ per $1$ .

$y = 8 - 4$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $4$ da $8$ .

$y = 4$

Passaggio 2.3

intercetta(e) di y in forma punto.

Intercetta(e) di y: $(0, 4)$

Passaggio 3

Elenca le intersezioni.

intercetta(e) di x: $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, 0)$ , per qualsiasi intero $n$

Intercetta(e) di y: $(0, 4)$

Passaggio 4