Trigonometria Esempi

$a = 9$ , $b = 7$ , $A = 60$

Passaggio 1

Il teorema dei seni si basa sulla proporzionalità dei lati e degli angoli nei triangoli. Secondo il teorema, per gli angoli di un triangolo non rettangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto resta costante.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 2

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $B$ .

$\frac{\sin (B)}{7} = \frac{\sin (60)}{9}$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione per $B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $7$ .

$7 \frac{\sin (B)}{7} = 7 \frac{\sin (60)}{9}$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$7 \frac{\sin (B)}{7} = 7 \frac{\sin (60)}{9}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (B) = 7 \frac{\sin (60)}{9}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $7 \frac{\sin (60)}{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (60)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (B) = 7 \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{9}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sin (B) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{9})$

Passaggio 3.2.2.1.3

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $\frac{1}{9}$ .

$\sin (B) = 7 \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Moltiplica $2$ per $9$ .

$\sin (B) = 7 \frac{\sqrt{3}}{18}$

Passaggio 3.2.2.1.4

$7$ e $\frac{\sqrt{3}}{18}$ .

$\sin (B) = \frac{7 \sqrt{3}}{18}$

Passaggio 3.3

Trova il valore dell'incognita $B$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$B = \arcsin (\frac{7 \sqrt{3}}{18})$

Passaggio 3.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Calcola $\arcsin (\frac{7 \sqrt{3}}{18})$ .

$B = 42.34361264$

Passaggio 3.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$B = 180 - 42.34361264$

Passaggio 3.6

Sottrai $42.34361264$ da $180$ .

$B = 137.65638735$

Passaggio 3.7

La soluzione dell'equazione $B = 42.34361264$ .

$B = 42.34361264, 137.65638735$

Passaggio 3.8

Escludi il triangolo non valido.

$B = 42.34361264$

Passaggio 4

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$60 + C + 42.34361264 = 180$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Somma $60$ e $42.34361264$ .

$C + 102.34361264 = 180$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $102.34361264$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = 180 - 102.34361264$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $102.34361264$ da $180$ .

$C = 77.65638735$

Passaggio 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 7

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $c$ .

$\frac{\sin (77.65638735)}{c} = \frac{\sin (60)}{9}$

Passaggio 8

Risolvi l'equazione per $c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Calcola $\sin (77.65638735)$ .

$\frac{0.97688313}{c} = \frac{\sin (60)}{9}$

Passaggio 8.1.2

Il valore esatto di $\sin (60)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.97688313}{c} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{9}$

Passaggio 8.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{0.97688313}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{9}$

Passaggio 8.1.4

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.4.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $\frac{1}{9}$ .

$\frac{0.97688313}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 8.1.4.2

Moltiplica $2$ per $9$ .

$\frac{0.97688313}{c} = \frac{\sqrt{3}}{18}$

Passaggio 8.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$c, 18$

Passaggio 8.2.2

Since $c, 18$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 18$ then find LCM for the variable part $c^{1}$ .

Passaggio 8.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 8.2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 8.2.5

I fattori primi per $18$ sono $2 \cdot 3 \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.5.1

$18$ presenta fattori di $2$ e $9$ .

$2 \cdot 9$

Passaggio 8.2.5.2

$9$ presenta fattori di $3$ e $3$ .

$2 \cdot 3 \cdot 3$

Passaggio 8.2.6

Moltiplica $2 \cdot 3 \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.6.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 \cdot 3$

Passaggio 8.2.6.2

Moltiplica $6$ per $3$ .

$18$

Passaggio 8.2.7

Il fattore di $c^{1}$ è $c$ stesso.

$c^{1} = c$

$c$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 8.2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $c^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$c$

Passaggio 8.2.9

Il minimo comune multiplo di $c, 18$ è la parte numerica $18$ moltiplicata per la parte variabile.

$18 c$

Passaggio 8.3

Moltiplica per $18 c$ ciascun termine in $\frac{0.97688313}{c} = \frac{\sqrt{3}}{18}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{0.97688313}{c} = \frac{\sqrt{3}}{18}$ per $18 c$ .

$\frac{0.97688313}{c} (18 c) = \frac{\sqrt{3}}{18} (18 c)$

Passaggio 8.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$18 \frac{0.97688313}{c} c = \frac{\sqrt{3}}{18} (18 c)$

Passaggio 8.3.2.2

Moltiplica $18 \frac{0.97688313}{c}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.2.1

$18$ e $\frac{0.97688313}{c}$ .

$\frac{18 \cdot 0.97688313}{c} c = \frac{\sqrt{3}}{18} (18 c)$

Passaggio 8.3.2.2.2

Moltiplica $18$ per $0.97688313$ .

$\frac{17.58389644}{c} c = \frac{\sqrt{3}}{18} (18 c)$

Passaggio 8.3.2.3

Elimina il fattore comune di $c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{17.58389644}{c} c = \frac{\sqrt{3}}{18} (18 c)$

Passaggio 8.3.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$17.58389644 = \frac{\sqrt{3}}{18} (18 c)$

Passaggio 8.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

Elimina il fattore comune di $18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1.1

Scomponi $18$ da $18 c$ .

$17.58389644 = \frac{\sqrt{3}}{18} (18 (c))$

Passaggio 8.3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$17.58389644 = \frac{\sqrt{3}}{18} (18 c)$

Passaggio 8.3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$17.58389644 = \sqrt{3} c$

Passaggio 8.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{3} c = 17.58389644$ .

$\sqrt{3} c = 17.58389644$

Passaggio 8.4.2

Dividi per $\sqrt{3}$ ciascun termine in $\sqrt{3} c = 17.58389644$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1

Dividi per $\sqrt{3}$ ciascun termine in $\sqrt{3} c = 17.58389644$ .

$\frac{\sqrt{3} c}{\sqrt{3}} = \frac{17.58389644}{\sqrt{3}}$

Passaggio 8.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $\sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{3} c}{\sqrt{3}} = \frac{17.58389644}{\sqrt{3}}$

Passaggio 8.4.2.2.1.2

Dividi $c$ per $1$ .

$c = \frac{17.58389644}{\sqrt{3}}$

Passaggio 8.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.3.1

Moltiplica $\frac{17.58389644}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$c = \frac{17.58389644}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 8.4.2.3.2

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{17.58389644}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$c = \frac{17.58389644 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 8.4.2.3.2.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$c = \frac{17.58389644 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 8.4.2.3.2.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$c = \frac{17.58389644 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 8.4.2.3.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$c = \frac{17.58389644 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 8.4.2.3.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$c = \frac{17.58389644 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 8.4.2.3.2.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$c = \frac{17.58389644 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 8.4.2.3.2.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c = \frac{17.58389644 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 8.4.2.3.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$c = \frac{17.58389644 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.4.2.3.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.3.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$c = \frac{17.58389644 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.4.2.3.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$c = \frac{17.58389644 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 8.4.2.3.2.6.5

Calcola l'esponente.

$c = \frac{17.58389644 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 8.4.2.3.3

Moltiplica $17.58389644$ per $\sqrt{3}$ .

$c = \frac{30.45620204}{3}$

Passaggio 8.4.2.3.4

Dividi $30.45620204$ per $3$ .

$c = 10.15206734$

Passaggio 9

Questi sono i risultati per tutti gli angoli e i lati del triangolo dato.

$A = 60$

$B = 42.34361264$

$C = 77.65638735$

$a = 9$

$b = 7$

$c = 10.15206734$