Trigonometria Esempi

$\sec (\frac{3 θ}{2}) = - 2$ , $[0, 2 π)$

Passaggio 1

Calcola la secante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $θ$ dall'interno della secante.

$\frac{3 θ}{2} = arcsec (- 2)$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Il valore esatto di $arcsec (- 2)$ è $\frac{2 π}{3}$ .

$\frac{3 θ}{2} = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Passaggio 4

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Semplifica $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Passaggio 4.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Passaggio 4.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.2.1

Scomponi $3$ da $3 θ$ .

$\frac{1}{3} (3 (θ)) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Passaggio 4.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Passaggio 4.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 (2 π)}{3 \cdot 3}$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$θ = \frac{4 π}{3 \cdot 3}$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$θ = \frac{4 π}{9}$

Passaggio 5

La funzione secante è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$\frac{3 θ}{2} = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 6

Risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Passaggio 6.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Semplifica $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Passaggio 6.2.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Passaggio 6.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.2.1

Scomponi $3$ da $3 θ$ .

$\frac{1}{3} (3 (θ)) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Passaggio 6.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Passaggio 6.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$θ = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica $\frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2}{3} (2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Passaggio 6.2.2.1.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.2.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2}{3} (\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Passaggio 6.2.2.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Passaggio 6.2.2.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{6 π - 2 π}{3}$

Passaggio 6.2.2.1.3.2

Sottrai $2 π$ da $6 π$ .

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{4 π}{3}$

Passaggio 6.2.2.1.4

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot \frac{4 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.4.1

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{4 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 (4 π)}{3 \cdot 3}$

Passaggio 6.2.2.1.4.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$θ = \frac{8 π}{3 \cdot 3}$

Passaggio 6.2.2.1.4.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$θ = \frac{8 π}{9}$

Passaggio 7

Trova il periodo di $\sec (\frac{3 θ}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 7.2

Sostituisci $b$ con $\frac{3}{2}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{3}{2} |}$

Passaggio 7.3

$\frac{3}{2}$ corrisponde approssimativamente a $1.5$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \frac{2}{3}$

Passaggio 7.5

Moltiplica $2 π \frac{2}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

$\frac{2}{3}$ e $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} π$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4}{3} π$

Passaggio 7.5.3

$\frac{4}{3}$ e $π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Passaggio 8

Il periodo della funzione $\sec (\frac{3 θ}{2})$ è $\frac{4 π}{3}$ , quindi i valori si ripetono ogni $\frac{4 π}{3}$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = \frac{4 π}{9} + \frac{4 π n}{3}, \frac{8 π}{9} + \frac{4 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

Trova i valori di $n$ che producono un valore nell'intervallo $[0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Collega $0$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $[0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Collega $0$ per $n$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π (0)}{3}$

Passaggio 9.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1.1.1

Scomponi $3$ da $4 π (0)$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3}$

Passaggio 9.1.2.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1.1.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Passaggio 9.1.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Passaggio 9.1.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π \cdot (0)}{1}$

Passaggio 9.1.2.1.1.2.4

Dividi $4 π \cdot (0)$ per $1$ .

$\frac{4 π}{9} + 4 π \cdot (0)$

Passaggio 9.1.2.1.2

Moltiplica $4 π (0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1.2.1

Moltiplica $0$ per $4$ .

$\frac{4 π}{9} + 0 π$

Passaggio 9.1.2.1.2.2

Moltiplica $0$ per $π$ .

$\frac{4 π}{9} + 0$

Passaggio 9.1.2.2

Somma $\frac{4 π}{9}$ e $0$ .

$\frac{4 π}{9}$

Passaggio 9.1.3

L'intervallo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{4 π}{9}$ .

$θ = \frac{4 π}{9}$

Passaggio 9.2

Collega $0$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $[0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Collega $0$ per $n$ .

$\frac{8 π}{9} + \frac{4 π (0)}{3}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1.1.1

Scomponi $3$ da $4 π (0)$ .

$\frac{8 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3}$

Passaggio 9.2.2.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1.1.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{8 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Passaggio 9.2.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Passaggio 9.2.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8 π}{9} + \frac{4 π \cdot (0)}{1}$

Passaggio 9.2.2.1.1.2.4

Dividi $4 π \cdot (0)$ per $1$ .

$\frac{8 π}{9} + 4 π \cdot (0)$

Passaggio 9.2.2.1.2

Moltiplica $4 π (0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1.2.1

Moltiplica $0$ per $4$ .

$\frac{8 π}{9} + 0 π$

Passaggio 9.2.2.1.2.2

Moltiplica $0$ per $π$ .

$\frac{8 π}{9} + 0$

Passaggio 9.2.2.2

Somma $\frac{8 π}{9}$ e $0$ .

$\frac{8 π}{9}$

Passaggio 9.2.3

L'intervallo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{8 π}{9}$ .

$θ = \frac{4 π}{9}, \frac{8 π}{9}$

Passaggio 9.3

Collega $1$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $[0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Collega $1$ per $n$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π (1)}{3}$

Passaggio 9.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π}{3}$

Passaggio 9.3.2.2

Per scrivere $\frac{4 π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 9.3.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $9$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.3.1

Moltiplica $\frac{4 π}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Passaggio 9.3.2.3.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π \cdot 3}{9}$

Passaggio 9.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 π + 4 π \cdot 3}{9}$

Passaggio 9.3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.5.1

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{4 π + 12 π}{9}$

Passaggio 9.3.2.5.2

Somma $4 π$ e $12 π$ .

$\frac{16 π}{9}$

Passaggio 9.3.3

L'intervallo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{16 π}{9}$ .

$θ = \frac{4 π}{9}, \frac{8 π}{9}, \frac{16 π}{9}$