Trigonometria Esempi

$\sin (θ) > 0$ , $\cos (θ) < 0$

Passaggio 1

Semplifica la prima diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$θ > \arcsin (0)$ e $\cos (θ) < 0$

Passaggio 1.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$θ > 0$ e $\cos (θ) < 0$

Passaggio 1.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$θ = π - 0$ e $\cos (θ) < 0$

Passaggio 1.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$θ = π$ e $\cos (θ) < 0$

Passaggio 1.5

Trova il periodo di $\sin (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 1.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 1.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 1.6

Il periodo della funzione $\sin (θ)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ e $\cos (θ) < 0$

Passaggio 1.7

Consolida le risposte.

$θ = π n$ e $\cos (θ) < 0$

Passaggio 1.8

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$0 < θ < π$

$π < θ < 2 π$ e $\cos (θ) < 0$

Passaggio 1.9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1

Testa un valore sull'intervallo $0 < θ < π$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 1.9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < θ < π$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$θ = 2$ e $\cos (θ) < 0$

Passaggio 1.9.1.2

Sostituisci $θ$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\sin (2) > 0$ e $\cos (θ) < 0$

Passaggio 1.9.1.3

Il lato sinistro di $0.90929742$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero e $\cos (θ) < 0$

Passaggio 1.9.2

Testa un valore sull'intervallo $π < θ < 2 π$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 1.9.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $π < θ < 2 π$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$θ = 5$ e $\cos (θ) < 0$

Passaggio 1.9.2.2

Sostituisci $θ$ con $5$ nella diseguaglianza originale.

$\sin (5) > 0$ e $\cos (θ) < 0$

Passaggio 1.9.2.3

Il lato sinistro di $- 0.95892427$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso e $\cos (θ) < 0$

Passaggio 1.9.3

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$0 < θ < π$ Vero

$π < θ < 2 π$ False and $\cos (θ) < 0$

$0 < θ < π$ Vero

$π < θ < 2 π$ False and $\cos (θ) < 0$

Passaggio 1.10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ e $\cos (θ) < 0$

Passaggio 2

Semplifica la seconda diseguaglianza.

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Passaggio 2.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ e $θ < \arccos (0)$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ e $θ < \frac{π}{2}$

Passaggio 2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ e $θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 2.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ e $θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.4.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.4.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ e $θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ e $θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 2.4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.4.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ e $θ = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 2.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ e $θ = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 2.5

Trova il periodo di $\cos (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.6

Il periodo della funzione $\cos (θ)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ e $θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$

Passaggio 2.7

Consolida le risposte.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ e $θ = \frac{π}{2} + π n$

Passaggio 2.8

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ e $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$

Passaggio 2.9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Testa un valore sull'intervallo $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ e $θ = 3$

Passaggio 2.9.1.2

Sostituisci $θ$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ e $\cos (3) < 0$

Passaggio 2.9.1.3

Il lato sinistro di $- 0.98999249$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ and True

Passaggio 2.9.2

Testa un valore sull'intervallo $\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ e $θ = 6$

Passaggio 2.9.2.2

Sostituisci $θ$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ e $\cos (6) < 0$

Passaggio 2.9.2.3

Il lato sinistro di $0.96017028$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ and False

Passaggio 2.9.3

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ and $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ True

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ Falso

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ and $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ True

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ Falso

Passaggio 2.10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ e $\frac{π}{2} + 2 π n < θ < \frac{3 π}{2} + 2 π n$

Passaggio 3