Trigonometria Esempi

$y = 4 \cos (\frac{3 θ}{2})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $4 \cos (\frac{3 θ}{2})$ rispetto a $θ$ è $4 \frac{d}{d θ} [\cos (\frac{3 θ}{2})]$ .

$4 \frac{d}{d θ} [\cos (\frac{3 θ}{2})]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ è $f' (g (θ)) g' (θ)$ dove $f (θ) = \cos (θ)$ e $g (θ) = \frac{3 θ}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{3 θ}{2}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d θ} [\frac{3 θ}{2}])$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$4 (- \sin (u) \frac{d}{d θ} [\frac{3 θ}{2}])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{3 θ}{2}$ .

$4 (- \sin (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} [\frac{3 θ}{2}])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 4 (\sin (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} [\frac{3 θ}{2}])$

Passaggio 1.3.2

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $\frac{3 θ}{2}$ rispetto a $θ$ è $\frac{3}{2} \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$- 4 \sin (\frac{3 θ}{2}) (\frac{3}{2} \frac{d}{d θ} [θ])$

Passaggio 1.3.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

$\frac{3}{2}$ e $- 4$ .

$\frac{3 \cdot - 4}{2} \sin (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} [θ]$

Passaggio 1.3.3.2

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$\frac{- 12}{2} \sin (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} [θ]$

Passaggio 1.3.3.3

$\frac{- 12}{2}$ e $\sin (\frac{3 θ}{2})$ .

$\frac{- 12 \sin (\frac{3 θ}{2})}{2} \frac{d}{d θ} [θ]$

Passaggio 1.3.3.4

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.4.1

Scomponi $2$ da $- 12 \sin (\frac{3 θ}{2})$ .

$\frac{2 (- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}))}{2} \frac{d}{d θ} [θ]$

Passaggio 1.3.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}))}{2 (1)} \frac{d}{d θ} [θ]$

Passaggio 1.3.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}))}{2 \cdot 1} \frac{d}{d θ} [θ]$

Passaggio 1.3.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})}{1} \frac{d}{d θ} [θ]$

Passaggio 1.3.3.4.2.4

Dividi $- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})$ per $1$ .

$- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} [θ]$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ è $n θ^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}) \cdot 1$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})$ rispetto a $θ$ è $- 6 \frac{d}{d θ} [\sin (\frac{3 θ}{2})]$ .

$f'' (θ) = - 6 \frac{d}{d θ} \sin (\frac{3 θ}{2})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ è $f' (g (θ)) g' (θ)$ dove $f (θ) = \sin (θ)$ e $g (θ) = \frac{3 θ}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{3 θ}{2}$ .

$f'' (θ) = - 6 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d θ} (\frac{3 θ}{2}))$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$f'' (θ) = - 6 (\cos (u) \frac{d}{d θ} (\frac{3 θ}{2}))$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{3 θ}{2}$ .

$f'' (θ) = - 6 (\cos (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} (\frac{3 θ}{2}))$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $\frac{3 θ}{2}$ rispetto a $θ$ è $\frac{3}{2} \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$f'' (θ) = - 6 \cos (\frac{3 θ}{2}) (\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d θ} (θ))$

Passaggio 2.3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

$\frac{3}{2}$ e $- 6$ .

$f'' (θ) = \frac{3 \cdot - 6}{2} \cdot \cos (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} (θ)$

Passaggio 2.3.2.2

Moltiplica $3$ per $- 6$ .

$f'' (θ) = \frac{- 18}{2} \cdot \cos (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} (θ)$

Passaggio 2.3.2.3

$\frac{- 18}{2}$ e $\cos (\frac{3 θ}{2})$ .

$f'' (θ) = \frac{- 18 \cos (\frac{3 θ}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d θ} (θ)$

Passaggio 2.3.2.4

Elimina il fattore comune di $- 18$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.4.1

Scomponi $2$ da $- 18 \cos (\frac{3 θ}{2})$ .

$f'' (θ) = \frac{2 (- 9 \cos (\frac{3 θ}{2}))}{2} \cdot \frac{d}{d θ} (θ)$

Passaggio 2.3.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f'' (θ) = \frac{2 (- 9 \cos (\frac{3 θ}{2}))}{2 (1)} \cdot \frac{d}{d θ} (θ)$

Passaggio 2.3.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (θ) = \frac{2 (- 9 \cos (\frac{3 θ}{2}))}{2 \cdot 1} \cdot \frac{d}{d θ} (θ)$

Passaggio 2.3.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (θ) = \frac{- 9 \cos (\frac{3 θ}{2})}{1} \cdot \frac{d}{d θ} (θ)$

Passaggio 2.3.2.4.2.4

Dividi $- 9 \cos (\frac{3 θ}{2})$ per $1$ .

$f'' (θ) = - 9 \cos (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} θ$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ è $n θ^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (θ) = - 9 \cos (\frac{3 θ}{2}) \cdot 1$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$f'' (θ) = - 9 \cos (\frac{3 θ}{2})$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}) = 0$

Passaggio 4

Dividi per $- 6$ ciascun termine in $- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi per $- 6$ ciascun termine in $- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}) = 0$ .

$\frac{- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $\sin (\frac{3 θ}{2})$ per $1$ .

$\sin (\frac{3 θ}{2}) = \frac{0}{- 6}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Dividi $0$ per $- 6$ .

$\sin (\frac{3 θ}{2}) = 0$

Passaggio 5

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{3 θ}{2} = \arcsin (0)$

Passaggio 6

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$\frac{3 θ}{2} = 0$

Passaggio 7

Poni il numeratore uguale a zero.

$3 θ = 0$

Passaggio 8

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 θ = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 θ = 0$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $θ$ per $1$ .

$θ = \frac{0}{3}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

$θ = 0$

Passaggio 9

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$\frac{3 θ}{2} = π - 0$

Passaggio 10

Risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Passaggio 10.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Semplifica $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Passaggio 10.2.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Passaggio 10.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1.2.1

Scomponi $3$ da $3 θ$ .

$\frac{1}{3} (3 (θ)) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Passaggio 10.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Passaggio 10.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$θ = \frac{2}{3} (π - 0)$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Semplifica $\frac{2}{3} (π - 0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Sottrai $0$ da $π$ .

$θ = \frac{2}{3} π$

Passaggio 10.2.2.1.2

$\frac{2}{3}$ e $π$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 11

La soluzione dell'equazione $\frac{3 θ}{2} = 0$ .

$θ = 0, \frac{2 π}{3}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $θ = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 9 \cos (\frac{3 (0)}{2})$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Scomponi $2$ da $3 (0)$ .

$- 9 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2})$

Passaggio 13.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- 9 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 (1)})$

Passaggio 13.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 9 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 \cdot 1})$

Passaggio 13.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 9 \cos (\frac{3 \cdot (0)}{1})$

Passaggio 13.1.2.4

Dividi $3 \cdot (0)$ per $1$ .

$- 9 \cos (3 \cdot (0))$

Passaggio 13.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$- 9 \cos (0)$

Passaggio 13.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 9 \cdot 1$

Passaggio 13.4

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$- 9$

Passaggio 14

$θ = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$θ = 0$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $θ = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $θ$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 4 \cos (\frac{3 (0)}{2})$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Scomponi $2$ da $3 (0)$ .

$f (0) = 4 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2})$

Passaggio 15.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (0) = 4 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 (1)})$

Passaggio 15.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (0) = 4 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 \cdot 1})$

Passaggio 15.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (0) = 4 \cos (\frac{3 \cdot (0)}{1})$

Passaggio 15.2.1.2.4

Dividi $3 \cdot (0)$ per $1$ .

$f (0) = 4 \cos (3 \cdot (0))$

Passaggio 15.2.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (0) = 4 \cos (0)$

Passaggio 15.2.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (0) = 4 \cdot 1$

Passaggio 15.2.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f (0) = 4$

Passaggio 15.2.5

La risposta finale è $4$ .

$y = 4$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $θ = \frac{2 π}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 9 \cos (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{2})$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

$3$ e $\frac{2 π}{3}$ .

$- 9 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

Passaggio 17.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- 9 \cos (\frac{\frac{6 π}{3}}{2})$

Passaggio 17.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.1

Riduci l'espressione $\frac{6 π}{3}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.1.1

Scomponi $3$ da $6 π$ .

$- 9 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

Passaggio 17.3.1.2

Scomponi $3$ da $3$ .

$- 9 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{2})$

Passaggio 17.3.1.3

Elimina il fattore comune.

$- 9 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{2})$

Passaggio 17.3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- 9 \cos (\frac{\frac{2 π}{1}}{2})$

Passaggio 17.3.2

Dividi $2 π$ per $1$ .

$- 9 \cos (\frac{2 π}{2})$

Passaggio 17.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.4.1

Elimina il fattore comune.

$- 9 \cos (\frac{2 π}{2})$

Passaggio 17.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$- 9 \cos (π)$

Passaggio 17.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- 9 (- \cos (0))$

Passaggio 17.6

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 9 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 17.7

Moltiplica $- 9 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.7.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 9 \cdot - 1$

Passaggio 17.7.2

Moltiplica $- 9$ per $- 1$ .

$9$

Passaggio 18

$θ = \frac{2 π}{3}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$θ = \frac{2 π}{3}$ è un minimo locale

Passaggio 19

Trova il valore di y quando $θ = \frac{2 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sostituisci la variabile $θ$ con $\frac{2 π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{2})$

Passaggio 19.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

$3$ e $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

Passaggio 19.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{6 π}{3}}{2})$

Passaggio 19.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.3.1

Riduci l'espressione $\frac{6 π}{3}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.3.1.1

Scomponi $3$ da $6 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

Passaggio 19.2.3.1.2

Scomponi $3$ da $3$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{2})$

Passaggio 19.2.3.1.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{2})$

Passaggio 19.2.3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{2 π}{1}}{2})$

Passaggio 19.2.3.2

Dividi $2 π$ per $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 π}{2})$

Passaggio 19.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 π}{2})$

Passaggio 19.2.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (π)$

Passaggio 19.2.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 (- \cos (0))$

Passaggio 19.2.6

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 19.2.7

Moltiplica $4 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot - 1$

Passaggio 19.2.7.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 4$

Passaggio 19.2.8

La risposta finale è $- 4$ .

$y = - 4$

Passaggio 20

Questi sono gli estremi locali per $f (θ) = 4 \cos (\frac{3 θ}{2})$ .

$(0, 4)$ è un massimo locale

$(\frac{2 π}{3}, - 4)$ è un minimo locale

Passaggio 21