Trigonometria Esempi

$y = e^{x - 1}$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = e^{y - 1}$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $e^{y - 1} = x$ .

$e^{y - 1} = x$

Passaggio 2.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{y - 1}) = \ln (x)$

Passaggio 2.3

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 2.3.1

Espandi $\ln (e^{y - 1})$ spostando $y - 1$ fuori dal logaritmo.

$(y - 1) \ln (e) = \ln (x)$

Passaggio 2.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$(y - 1) \cdot 1 = \ln (x)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $y - 1$ per $1$ .

$y - 1 = \ln (x)$

Passaggio 2.4

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \ln (x) + 1$

Passaggio 3

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$ è l'inverso di $f (x) = e^{x - 1}$ .

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Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (e^{x - 1})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = \ln (e^{x - 1}) + 1$

Passaggio 4.2.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.3.1

Usa le regole del logaritmo per togliere $x - 1$ dall'esponente.

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = (x - 1) \ln (e) + 1$

Passaggio 4.2.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = (x - 1) \cdot 1 + 1$

Passaggio 4.2.3.3

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = x - 1 + 1$

Passaggio 4.2.4

Combina i termini opposti in $x - 1 + 1$ .

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Passaggio 4.2.4.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = x + 0$

Passaggio 4.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (\ln (x) + 1)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\ln (x) + 1) = e^{(\ln (x) + 1) - 1}$

Passaggio 4.3.3

Combina i termini opposti in $(\ln (x) + 1) - 1$ .

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Passaggio 4.3.3.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (\ln (x) + 1) = e^{\ln (x) + 0}$

Passaggio 4.3.3.2

Somma $\ln (x)$ e $0$ .

$f (\ln (x) + 1) = e^{\ln (x)}$

Passaggio 4.3.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln (x) + 1) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$ è l'inverso di $f (x) = e^{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$